Smith-Normalform im Polynomring

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 1 (Smith-Normalform im Polynomring, 10 Punkte)
Sei $M$ der $\mathbb{C}[x]$-Modul mit Erzeugern $m_{1}, m_{2}$ und Relationen
$\begin{array}{c} \left(x^{2}+i x\right) \cdot m_{1}+(x+i) \cdot m_{2}=0 \\ (-2 x+2 i) \cdot m_{1}+\left(x^{2}+1\right) \cdot m_{2}=0 \end{array}$
Bestimmen Sie $t, n_{1}, \ldots, n_{s} \in \mathbb{N}_{0}$ und $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{s} \in \mathbb{C}$, so dass
$\mathbb{C}[x]^{t} \oplus \mathbb{C}[x] /\left(\left(x-\lambda_{1}\right)^{n_{1}}\right) \oplus \cdots \oplus \mathbb{C}[x] /\left(\left(x-\lambda_{s}\right)^{n_{s}}\right) \cong M$

Problem/Ansatz:

Bei der Aufgabe komme ich leider gar nicht weiter. Wie gehe ich da vor?

Danke schonmal im Voraus!