Stationären Punkte mit Nebenbedingung und Lagrange

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die stationären Punkte von $\ K(x,y)=x^2+2y^2$ unter der Nebenbedingung $\ x+y=5$ unter zu Hilfenahme der Lagrangefunktion.

Problem/Ansatz:

Hallo.

Ich brauche bei der Lösung der Aufgabe den letzten Denkanstoß. Bisher habe ich die Funktion der Nebenbedingung und die Ableitungen aufgestellt. Bin ich bis hierhin auf dem richtigen Pfad?

$\ g(x,y)=x+y-5$

$\ L(x,y,\lambda)=x^2+2y^2+\lambda(x+y-5)$

$\ Lx = 2x+\lambda = 0$

$\ Ly = 4y+\lambda = 0$

$\ L\lambda = x+y-5 = 0$

Allerdings habe ich gerade ein Brett vor dem Kopf und weiß nicht, wie ich jetzt auf die stationären Punkte komme.

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen eine Funktion $K$ unter einer konstanten Nebenbedingung $g$ optimieren:$$K(x;y)=x^2+2y^2\quad;\quad g(x;y)=x+y=5$$

Durch die Lagrange-Funktion wird die eigentliche Idee von Lagrange verdeckt. In einem stationären Punkt muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Das bedeutet hier:$$\operatorname{grad}K(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2x}{4y}=\lambda\binom{1}{1}$$Um den Lagrange-Multiplikator $\lambda$ loszuwerden, dividieren wir die Koordinatengleichungen:$$\frac{2x}{4y}=\frac{\lambda\cdot1}{\lambda\cdot1}=1\implies 2x=4y\implies x=2y$$

Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$5=x+y=2y+y=3y\implies y=\frac53\stackrel{(x=2y)}{\implies}x=\frac{10}{3}$$

In dieser Situation hier gibt es also nur einen kritischen Punkt:$\quad K\left(\frac{10}{3}\big|\frac{5}{3}\right)$

Wenn du die Lagrange-Funktion nutzen musst (einige Leerer kennen es nicht anders), stelle $L_x$ und $L_y$ nach $\lambda$ um:$$\lambda=-2x\quad;\quad\lambda=-4y\quad\implies\quad-2x=-4y\implies x=2y$$und verfahre wie oben beschrieben.

Answer 2

Hallo

Ly-Lx gibt den Zusammenhang zwischen x und y, die letzte Gleichung dann x und y

lul

Comments

Danke für die Antwort.

Also wenn ich das richtig verstehe, dann ist $x=2y$ und $x=\frac{5}{3}$ bzw. $y=\frac{10}{3}$ oder habe ich noch etwas übersehen?

Habe ich dann nur einen stationären Punkt mit $P \begin{pmatrix} \frac{5}{3},\frac{10}{3}\end{pmatrix}$?