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Im Zusammenhang mit der Frage:

https://www.mathelounge.de/94983/verwasserter-wein-verhaltnis-wasser-zu-wein-angeben?show=95091#a95091

fällt mir wieder eine meiner Lieblingsfragen ein:

Angenommen man hat zwei gleiche Gläser, eines gefüllt mit Rotwein, das andere mit derselben Menge Weißwein.

Nun füllt man aus dem Rotweinglas einen Teelöffel voll Rotwein in das Weißweinglas, rührt gut um und füllt anschließend einen Teelöffel aus dem Gemisch im Weißweinglas zurück in das Rotweinglas.

Wie ist nun jeweils das Verhältnis von Rotwein zu Weißwein in den beiden Gläsern?

(Wer sich nicht vorstellen kann, zwei guten Weinen eine derartige Behandlung zukommen zu lassen, der möge die Weine durch z.B.  Orangen- und Kirschsaft ersetzen)

Gefragt von 32 k

1 Antwort

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Beste Antwort
Morgen JotEs,

nette Spielerei am Morgen ;).


ich würde das ganz stupide mit einem Beispiel errechnen. Eventuell kann man da Allgemeines dann ableiten?!

Beispiel man hat jeweils 1l Wein zur Verfügung. Ein Teelöffel entspreche 0,1l (Hagrids Teelöffel^^).


1l Rotwein (R)            -             1l Weißwein (W)

1l R + 0,1l W               -              0,9l W

Das entspricht

1/1,1 = 90,9% an R und 9,1% an W

Wenn wir also wieder 0,1l Gemisch (G) entfernen, haben wir:

1l G                              -               0,9l W + 0,1l G

Das Gemisch setzt sich dabei (nach obigem Prozentsatz) so zusammen

0,91l R + 0,09l W       -              0,9l W + 0,091l R + 0,009l W = 0,909l W + 0,091l R


Das nun beliebig fortsetzen (aber wer mischt schon einen Wein in mehrfach auf diese Weise?^^).


Grüße
Beantwortet von 133 k
Nun, erstmal vielen Dank, aber so ganz reicht mir das noch nicht.

Eine Beispielrechnung ist ja schön und gut, aber wenn diese mit gerundeten Werten durchgeführt wird, dann wird es wohl eher schwierig, daraus etwas abzuleiten ...

Gefragt war ja nach dem Verhältnis der beiden Weinsorten in den beiden Gläsern.

Genauer gesagt möchte ich gern wissen, ob nach dem Hin- und Hermischen mehr Weißwein im Rotweinglas ist als Rotwein im Weißweinglas oder umgekehrt oder ob eventuell sogar genau so viel Weißwein im Rotweinglas ist wie Rotwein im Weißweinglas ... ?

Vom Gefühl (und der Logik) her würde ich sagen, dass in beiden Gläsern das Gemisch auf 1:1 hinauslaufen wird.

Eine Formel kriege ich aber gerade nicht hin. Allerdings noch einen Ansatz mit Variablen^^.

 

Mischungsformel:

c1V1 = c2V2

wobei V1 das Weinglas im ursprünglichen Zustand darstellt. Folglich c1 = 1. V2 sei der Anteil an Rotwein der hinzukommt. Die vorliegende Konzentration ist also c2 = (c1V1)/V2

Wenn man das Spiel nun forttreibt muss man beachten, dass im Rotweinglas der Teelöffelanteil fehlt.

Würde ich so schreiben:

V3c3 + V4c4 = V5c5

V3 ist der Rotwein selbst (abzgl Teelöffel) und C3 folglich 1. V4 ist der Teelöffel mit c4, welches sich aus ersterer Rechnung ergibt. V5 ist wieder das ursprüngliche Volumen im Glas. Somit kann c5 bestimmt werden.

 

Vllt hilft Dir das weiter. Weiter hab ich jetzt nicht nachgedacht :D.

Vom Gefühl (und der Logik) her würde ich sagen, dass in beiden Gläsern das Gemisch auf 1:1 hinauslaufen wird.

Eine genaue Beispielrechnung, aus der man dann auch den allgemeinen Fall herleiten kann, muss aber mit Brüchen erfolgen - und das macht den Reiz dieser Aufgabe aus.

Nehmen wir an, beide Gläser enthalten jeweils 100 ml Wein und der Teelöffel habe ein Volumen von 10 ml.

Dann gilt nach dem ersten Schritt:

Rotweinglas:

100 ml R - 10 ml R = 90 ml R

Weißweinglas:

100 ml W + 10 ml R
(insgesamt 110 ml Gemisch, davon ( 10 / 11 ) W und ( 1 / 11 ) R )

und nach dem zweiten Schritt (nach Umrühren und Zurückfüllen von 10 ml des Gemisches aus dem Weißweinglas in das Rotweinglas):

Weißweinglas:  

100 ml W + 10 ml R - 10 * ( 10 / 11 ) ml W - 10 * ( 1 / 11 )  ml R

= ( 1100 / 11 ) ml  W - ( 100 / 11 ) ml W + ( 110 / 11 )  ml R - ( 10 / 11 ) ml R

= ( 1000 / 11 ) ml W + ( 100 / 11 ) ml  R

=> W : R  = 10 : 1

 

Rotweinglas:

90 ml R + 10 * ( 10 / 11 ) ml W + 10 * ( 1 / 11 )  ml R

= ( 990 / 11 )  ml R + ( 100 / 11 ) ml W + ( 10 / 11 ) ml R

= ( 1000 / 11 ) ml R + ( 100 / 11 ) ml W

=> R : W = 10 : 1

Also befindet sich nach beiden Schritten genau so viel Weißwein im Rotweinglas wie Rotwein im Weißweinglas.

 

Geht man ganz allgemein an die Aufgabe heran, dann erhält man (wegen der Übersichtlichkeit schreibe ich das Ganze jetzt mal in TeX):

Sei V das Volumen (in ml) eines jeden der beiden Gläser und T das Volumen (in ml) , das man hin- und her schüttet Dann muss zunächst einmal gelten:

T ≤ V

Nach dem ersten Schritt hat man:

Rotweinglas:

$$V[mlR]-T[mlR]=(V-T)[mlR]$$

Weißweinglas:

$$V[mlR]-T[mlR]=(V-T)[mlR]$$(insgesamt \( ( V + T )\) ml Gemisch, davon \(( V / ( V + T ) )\)  W und \(( T / ( V + T ) ) \) R

und nach dem zweiten Schritt:

Weißweinglas:  

$$V[mlW]+T[mlR]-T\frac { V }{ V+T } [mlW]-T\frac { T }{ V+T } [mlR]$$$$=V\frac { V+T }{ V+T } [mlW]+T\frac { V+T }{ V+T } [mlR]-T\frac { V }{ V+T } [mlW]-T\frac { T }{ V+T } [mlR]$$$$=\frac { V(V+T)-TV }{ V+T } [mlW]+\frac { T(V+T)-T^{ 2 } }{ V+T } [mlR]$$$$=\frac { V^{ 2 } }{ V+T } [mlW]+\frac { TV }{ V+T } [mlR]$$

so dass für das Verhältnis W : R gilt:

$$W:R=V^{ 2 }:TV=V:T$$

Rotweinglas:

$$(V-T)[mlR]+T\frac { V }{ V+T } [mlW]+T\frac { T }{ V+T } [mlR]$$$$=\frac { (V-T)(V+T) }{ V+T } [mlR]+\frac { TV }{ V+T } [mlW]+\frac { { T }^{ 2 } }{ V+T } [mlR]$$$$=\frac { { V }^{ 2 }-{ T }^{ 2 }+{ T }^{ 2 } }{ V+T } [mlR]+\frac { TV }{ V+T } [mlW]$$$$=\frac { { V }^{ 2 } }{ V+T } [mlR]+\frac { TV }{ V+T } [mlW]$$

so dass für das Verhältnis R : W gilt:

$$R:W=V^{ 2 }:TV=V:T$$

Aus diesem  allgemein bestimmten Verhältnis erkennt man also nun nicht nur die qualitative Aussage, dass sich nach beiden Schritten genau so viel Weißwein im Rotweinglas wie Rotwein im Weißweinglas befindet, sondern man erhält sogar eine quantitative Aussage.

Ich war nur zu faul (Hab halt doch was von einem Mathematiker :D) das so genau auszuführen, aber letztlich wäre das meinige auf das gleiche hinausgelaufen, wie ich vermute.

Ob ich es allerdings auch so sauber aufgeschrieben hätte :D.

Auf jedenfalls eine schöne Aufgabe und kein Otto-Normal-Ding! ;)

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