Seien K = ℤ2 und S ein beliebiger Körper

Question

Aufgabe:

Seien K = ℤ₂ und S ein beliebiger Körper.
• Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome vom Grad 3 über K.
• Geben Sie ein Beispiel eines normierten, reduziblen Polynoms über K vom Grad 4 an, das keine Nullstelle hat.
• Zeigen Sie, dass jedes normierte, reduzible Polynom f ∈ S[x] mit 1 ≤ grad(f) ≤ 3 eine Nullstelle hat.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Comments

Beim zweiten Teil vielleicht ƒ(x) = (x² + x + 1)² = x⁴ + x² + 1.

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(i) du suchst alle Polynome vom Grad 3 die keine Nullstellen haben. Du musst also theoretisch nur (2-1)*2³=8 Polynome testen (Leitkoeff darf nicht 0 sein) in dem du jeweils 2 Werte einsetzt. 4 der Polynome kannst du direkt verwerfen (die mit Absolutglied 0)

Also bleiben 4 Kandidaten. Setze da jeweils 0 und 1 ein und prüfe auf Nullstellen. Die ohne sind die gesuchten irreduziblen

(ii) Nimm ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad zwei

(Iii) Fall deg(f)=1 klar

Sonst f=g*h mit deg(f),deg(g)>0. Es ist deg(f)=deg(g)+deg(h) (Körper sind nullteilerfrei)

Eins der Polynome muss Grad 1 haben und somit auch eine NST

Answer 1

a)  In den Kommentaren hast du ja schon fast deie

Lösung. Ich finde nur 2:

x^3 + x +1   und x^3 + x^2 + 1.

und für b)  ( x^2 + x +1)^2 = x^4 +x^2 + 1