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Aufgabe:

Sei ABCD ein Trapez, das einen Umkreis besitzt. Zeigen Sie: ABCD ist ein symmetrisches Trapez. Prüfen Sie, welche anderen Viereckstypen Sehnenvierecke sind. Welche Viereckstypen sind Tangentenvierecke.


Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie ich das beweisen soll.


Danke für Hilfe und Tipps!

von

3 Antworten

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Beste Antwort

Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180° beträgt!

von 40 k

Also sind Quadrat, Rechteck und symm. Trapez Sehnenvierecke?

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Verbinde den Umkreismittelpunkt U mit den Ecken des Trapezes. Du erhältst vier gleichschenklige Dreiecke. Zwei der Dreiecke haben eine gemeinsame Symmetrieachse, die die beiden parallelen Seiten schneidet und damit auch Symmetrieachse des Trapezes ist.

Zur dritten Frage:

Bei Tangentenvierecken ist die Summe der Längen gegenüber liegender Seiten gleich:

a+c=b+d

:-)

von 38 k

Also sind Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm Tangentenvierecke?

Rechteck und Parallelogramm nicht.

Ah ok stimmt ich habe das = in der Gleichung nicht beachtet

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Hallo,

Sei ABCD ein Trapez, das einen Umkreis besitzt. Zeigen Sie: ABCD ist ein symmetrisches Trapez.

Die beiden parallelen Seiten des Trapez seien \(a\) und \(c\). Besitzt das Trapez einen Umkreis, so muss sein Mittelpunkt \(U\) sowohl auf der Mittelsenkrechten von \(a\) als auch auf der Mittelsenkrechten von \(c\) liegen. Da die Mittelsenkrechten jeweils senkrecht auf ihren Seiten stehen und \(a \parallel c\), müssen die beiden Mittelsenkrechten entweder (echt) parallel verlaufen oder identisch sein. Da sie einen gemensamen Punkt \(U\) besitzen (s.o.) können sie nur identisch sein.

Daraus folgt, dass die beiden Endpunkte von \(a\) und die beiden Endpunkte von \(c\) jeweils symmetrisch zur gemeinsamen Mittelsenkrechten von \(a\) und \(c\) liegen. Also ist ein Trapez mit Umkreis symmetrsch zu der Mittelsenkrechten von \(a\) und \(c\).

Prüfen Sie, welche anderen Viereckstypen Sehnenvierecke sind.

Na ja - zunächst einmal wäre zu klären, welche Viereckstypen es überhaupt gibt. Konzentriert man sich auf die 'üblichen Verdächtigen', so reicht es aus, zu der Eigenschaft 'Sehnenviereck' (Umkreis) weitere Eigenschaften hinzuzufügen und dann zu klären, um welchen Viereckstyp es sich handelt.

Füge eine von dreien hinzu (+1):

- Eigenschaft 'Tangentenviereck': Sehnentangentenviereck

- Eigenschaft 'zwei parallele Seiten' (Trapez): symmetrisches Trapez (s.o.)

- Eigenschaft 'Halbierung der Diagonale': schiefer Drachen mit Umkreis

Füge zwei von dreien hinzu (+2):

- 'Tangentenviereck' & 'zwei parallele Seiten': symmetrisches Trapez mit Inkreis

- 'Tangentenviereck' & 'Halbierung der Diagonale': Drachenviereck mit rechtwinkligen "Ohren"

- 'zwei parallele Seiten' & 'Halbierung der Diagonale': Rechteck

alles (+3):
- Quadrat

Welche Viereckstypen sind Tangentenvierecke.

gehe vor, wie oben:
(+1): Sehnentangentenviereck, Trapez mit Inkreis, Drachenviereck
(+2): symmetrisches Trapez mit Inkreis, Drachenviereck mit rechtwinkligen "Ohren", Raute
(+3): Quadrat

Gruß Werner

von 43 k

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