Konstruktion eines Trapez mit Inkreis aus drei seiner Seiten

Question

Wie konstruiert man ein Trapez mit Inkreis, von dem die Seiten \(a\), \(b\) und \(d\) gegeben sind?

Comments

Wenn ich das kurz überdenke meine ich
das sich aus den Seiten a,b,c kein eindeutiges
Trapez ergibt.

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A = (0 | 0)  ;   B = (0 | a)  ;   E = (0 | -a+b+d)
k₁ = k (A , d)  ;  k₂ = k (B, b)  ;  k₃ =  k (E, d)
k₂ ∩ k₃  =  {C}  ;  p || AB : C∈p  ;  k₁ ∩ p  =  {D}

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Hallo Georg, aus drei Seitenlängen allein ergibt sich sicher kein eindeutiges Trapez, aber die Forderung, dass das Trapez einen Inkreis hat, könnte die Eindeutigkeit sichern. hj2166 ist einfach genial. Und seine Konstruktion ist es auch. Wie üblich liefert er keinen Beweis. Ich habe inzwischen den Verdacht, dass hj2166 keinen intellektuellen Hochmut vorführt, sondern gar nicht weiß, dass er genial ist. Die Bedeutung seiner Schlüsselideen zur Lösungsfindung fällt ihm gar nicht auf. Deshalb erwähnt er sie nicht.

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Hallo Roland,

ein letztes Mal zum Kommentator über deinem
Kommentar
Er hat auch mitunter Fehler in seinen
Kommentaren.
Darauf angesprochen hört er einfach auf.
Das ist infantil.

Ich schau mir seine Kommentare nicht mehr an.

Zum Sachverhalt : leider war bei mir im Hirn der Fakt
nicht vorhanden das es Inkreise wahrscheinlich
nur bei bestimmten Trapezen gibt.

mfg Georg

Answer 1

Die folgende Lösung von hj2166 ist vermutlich richtig. Leider fehlt ein Beweis. Auch wurde sie in einem Kommentar versteckt.

A= (0 | 0)  ;   B = (0 | a)  ;   E = (0 | -a+b+d)
k₁ = k (A , d)  ;  k₂ = k (B, b)  ;  k₃ =  k (E, d)
k₂ ∩ k₃  =  {C}  ;  p || AB : C∈p  ;  k₁ ∩ p  =  {D}

Comments

Hallo Roland,
ich würde ganz gerne noch über Trapeze fachsimpeln.

In der Internet Recherche über Inkreise bei Trapezen
wurde dort behauptet " ein Trapez hat keinen Inkreis ".

Kann ich ein Trapez mit Inkreis nicht wie folgt
konstruieren

Einfach 4 Tangenten an den Kreis legen.
Es ergibt sich ein allgemeines Viereck.

https://de.wikipedia.org/wiki/Tangentenviereck

Für das Trapez

- einen Kreis zeichnen
- am obersten und untersten Punkt eine Tangente
zeichnen ( sind Parallelen  )
- 2 weitere Tangenten hinzufügen ergibt ein Trapez.

mfg Georg

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Hallo Georg, nicht jedes Trapez hat einen Inkreis. Die Behauptung, dass ein Trapez keinen Inkreis habe, würde ich so nicht stehen lassen, weil man glauben könnte, kein Trapez hat einen Inkreis.

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Nochmal zur Klärung des Sachverhalts. Roland sieht das völlig richtig. Ein Trapez hat im Allgemeinen keinen Inkreis. Hier war aber ein Trapez gesucht, welches auch einen Inkreis hat und mit dieser zusätzlichen Bedingung wird die Konstruktion dann auch eindeutig.

Ein Beweis ist relativ leicht zu führen. Im Tangentenviereck (ein Viereck mit Inkreis) ist die Summe zweier gegenüber liegender Seiten gleich der Summe der beiden anderen. Also in diesem Fall ist \(c=b+d-a\). Damit reduziert sich das Problem auf die Konstruktion eines Trapez aus seinen vier Seiten. Zieht man eine zu \(d\) parallel verlaufende Gerade durch \(C\),  so schneidet diese \(a\) bzw. ihre Verlängerung in \(E\). AECD ist ein Parallelogramm - also ist \(AE=c\) und \(EC=d\).

Die Punkte hätte sich jj2166 verdient, daher vergebe ich für die Antwort keine.

Ich danke allen, die geantwortet haben.

Gruß Werner

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Hallo Werner,

schön das du eine Lösung hier eingestellt hast.

Mit dem Wissen
- nicht jedes Trapez hat einen Inkreis
- die Länge der vierten Seite ergibt sich

war es also relativ einfach.

mfg Georg

Bei meinen Recherchen bin ich auch auf den
Innkreis gestoßen.
Scherzfrage : wieviel Trapeze gibt es im
Innkreis ?