wie kann ich die Lösungen der oben dargestellten komplexen Gleichung ermitteln?

Question

Aufgabe

Komplexe Gleichung

Z³-zi=0

i=imaginäre Zahl
Problem/Ansatz:

Hallo ,wie kann ich die Lösungen der oben dargestellten komplexen Gleichung ermitteln?

Z=0 ist die triviale Lösung

Aber es gibt noch 3 andere Lösungen die ich über die Euler Formel ermitteln möchte (Winkel im Bogenmass

Z= r×e^(i×Phi+2pi/K) sollte die Formel dazu sein

r=Betrag

Vielen Dank schonmal für eure Antworten

Answer 1

z³ - z·i = 0

z·(z² - i) = 0

Satz vom Nullprodukt

z = 0

z² - i = 0 → z = ± √i = ± √2/2·(1 + i)

Answer 2

Die Gleichung $z^3 - iz = 0$ kann man umformen in $z (z^2- i) = 0$. Also ist eine Lösung $z_1 = 0$

Es bleibt die Gleichung $z^2 - i =0$ mit $z = r e^{i\varphi }$ folgt $$r^2 e^{2i\varphi} = i$$ Das ergibt schon mal $r = 1$ durch Betragsbildung. Bleibt also noch $e^{2i\varphi} = i = e^{i\frac{\pi}{2}}$.

Daraus folgt schon mal $2 \varphi = \frac{\pi}{2}$ also $\varphi = \frac{\pi}{4}$ und damit $z_2 = e^{i \frac{\pi}{4}}$.

Da aber $e^{2i\varphi} = e^{2i\varphi + 2\pi k}$ gilt mit $k \in \mathbb{Z}$ folgt auch $2 \varphi + 2 \pi k = \frac{\pi}{2}$. Für $k= -1$ ergibt sich noch $\varphi = \frac{5}{4} \pi$ als letzte Lösung und damit $z_3 = e^{i\frac{5}{4} \pi }$