wie kann ich die Lösungen der oben dargestellten komplexen Gleichung ermitteln?

Question

Aufgabe

Komplexe Gleichung

Z³-zi=0

i=imaginäre Zahl
Problem/Ansatz:

Hallo ,wie kann ich die Lösungen der oben dargestellten komplexen Gleichung ermitteln?

Z=0 ist die triviale Lösung

Aber es gibt noch 3 andere Lösungen die ich über die Euler Formel ermitteln möchte (Winkel im Bogenmass

Z= r×e^(i×Phi+2pi/K) sollte die Formel dazu sein

r=Betrag

Vielen Dank schonmal für eure Antworten

Answer 1

z^3 - z·i = 0

z·(z^2 - i) = 0

Satz vom Nullprodukt

z = 0

z^2 - i = 0 → z = ± √i = ± √2/2·(1 + i)

Answer 2

Die Gleichung \( z^3 - iz = 0\) kann man umformen in \( z (z^2- i) = 0\). Also ist eine Lösung \( z_1 = 0 \)

Es bleibt die Gleichung \( z^2 - i =0 \) mit \( z = r e^{i\varphi } \) folgt $$ r^2 e^{2i\varphi} = i $$ Das ergibt schon mal \( r = 1 \) durch Betragsbildung. Bleibt also noch \( e^{2i\varphi} = i = e^{i\frac{\pi}{2}} \).

Daraus folgt schon mal \( 2 \varphi = \frac{\pi}{2} \) also \( \varphi = \frac{\pi}{4} \) und damit \( z_2 = e^{i \frac{\pi}{4}} \).

Da aber \( e^{2i\varphi} = e^{2i\varphi + 2\pi k} \) gilt mit \( k \in \mathbb{Z} \) folgt auch \( 2 \varphi + 2 \pi k = \frac{\pi}{2} \). Für \( k= -1 \) ergibt sich noch \( \varphi = \frac{5}{4} \pi \) als letzte Lösung und damit \( z_3 = e^{i\frac{5}{4} \pi } \)