Bestimmen Sie die globalen Extrema mit Nebenbedingungen

Question

Aufgabe:

Extrema mit Nebenbedingungen(Ungleichung)

Problem/Ansatz:

Geg. sei f : R^2 → R definiert durch f(x, y) = 2x^3 − 12x + 3y^2 + 6xy.

P(2|-2) sei ein lokales Minimum, Q(-1|1) ein Sattelpunkt.

Sei D nun := {(x, y) ∈ R^2 : x >= 0, y >= 0, x + y <= 1}. Bestimmen Sie die globalen Extrema
der auf D eingeschränkten Funktion f : D → R.

Wie gehe ich da am besten vor? Ich weiß ja, dass die lokalen Minima und der Sattelpunkt nicht in D liegen. Also muss ich gleich den Rand untersuchen? Aber was ist der Rand bei zweidimensionalen Funktionen?

Lagrange geht nicht?

Answer 1

Würde erstmal "normal" vorgehen, also Gradienten gleich null setzen, Hesse-Matrix, usw.

Dann bemerkt man ggf., dass das, was man da rauskriegt, nicht in \(D\) liegt und dann untersucht man den Rand, also setzt \(y=1-x\) mit \(x\geq 0\) und \(y\geq 0\) und untersucht halt \(f(x,y)=f(x,1-x)=2 x^3 - 3 x^2 - 12 x + 3\) auf Extrema, wie man dies schon in der Schule tat. Achte aber auf den Def-Bereich.

Comments

Der Rand ist ein Dreieck!

Auch die Strecken von (0|0) bis (1|0) bzw. bis (0|1) sind zu betrachten.

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Richtig. Wichtiger Hinweis. Lassen sich auch spielend leicht parametrisieren.

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wie genau kommt man auf den rand

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wie genau kommt man auf den rand

Die Ränder sind 3 Strecken in der x-y-Ebene. Die schwierigste ist bereits die, die racine_carrée anfangs erwähnt hatte. Du kannst getrennt alle diese drei Strecken untersuchen.

Grafisch sieht das etwa wie folgt aus:

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wie genau kommt man auf den rand

Der steht in der Aufgabe! Zur Erinnerung:

Sei D nun := {(x, y) ∈ R² : x >= 0, y >= 0, x + y <= 1}.

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leider habe ich in der klausur nichts was es mir veranschaulicht.

Sei D nun := {(x, y) ∈ R² : x >= 0, y >= 0, x + y <= 1}.
wie sehe ich hier den rand? dass 0 0 einer ist, sehe ich vielleicht gerade noch so, aber sonst nicht

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x >= 0, y >= 0, x + y <= 1

Wenn x = 0 gilt kann y offensichtlich im Intervall [0, 1] liegen. Da das der kleinste Wert für x ist, ist dies offensichtlich ein Rand.

Wenn y = 0 gilt kann x offensichtlich im Intervall [0, 1] liegen. Da das der kleinste Wert für y ist, ist dies offensichtlich ein Rand.

x + y = 1 bzw. y = 1 - x ist dann offensichtlich der dritte Rand für denen die Summe aus x und y eben maximal wird.

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leider habe ich in der klausur nichts was es mir veranschaulicht.

Daher sollte man sowas ja auch vor der Klausur sich an möglichst viele Übungsaufgaben veranschaulichen, wenn man damit Probleme hat.

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und dann rand lagrange prüfen?

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und dann rand lagrange prüfen?

Wäre overkill. Mal zur Intuition. Abbildungen \(\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2\) haben Graphen, die so ausehen können, wie ein in der Luft schwebendes Blatt Papier.

Beispielbild (nicht deine Funktion)

Jedem Punkt der x-y-Ebene \((x,y)\) wird durch \(f\) "auf eine Höhe \(f(x,y)\)" befördert. Insgesamt hast du dann \((x,y,f(x,y))\). Du hast jetzt in der x-y-Ebene ein Dreieck. Du kannst dessen Ränder parametrisieren (Geradengleichungen). Diese Geraden, in der x-y-Ebene lebend, sind einfach Punktmengen. Du kannst dir vorstellen, die Gerade (d. h. alle Punkte) in die Luft auf den Graphen zu heben und von ebendieser Gerade den Extremwert zu berechnen.

Schau mal hier: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/Line_integral_of_scalar_field.gif

Das hat zwar mit Kurvenintegralen zu tun, hier wird dann die Fläche unter dieser Funktion (die zuvor noch gestreckt/gestaucht wird (hier egal)) gesucht, nicht die Extrema.