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Hallo Leute,

Ich habe eine kurze Frage zur Lösung der DGL des ungedämpften harmonischen Oszillators:

$$\ddot x +\omega_o^2(x-x_0)=0 (i)$$

Die Anfangswertbedingungen sind \(x(0)=x_0\) und \(\dot x(0)=v(0)=v_0\).

Man erhält als Lösung: $$x(t)=x_0\cos(\omega_0 t)+ \frac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0 t)$$

Nun kann man mit einer trigonometrischen Identität

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Sinusoid_und_Linearkombination_mit_gleicher_Phase

$$x(t)=A\sin(\omega_0 t + \phi)$$ mit \( A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega_0^2}}\) und \(\tan \phi =\frac{x_0\omega_0}{v_0}\)gefolgert werden (Lösung laut Skript), aber müsste man nicht eine Fallentscheidung machen für \(\tan \phi \), da man ja nicht weiß, ob \(x_0>0\) und/oder \(v_0>0\)?

Wenn \(x_0>0\), dann müsste \(\tan \phi =\frac{v_0}{x_0\omega_0}\) und \(x(t)=A\cos(\omega_0 t - \phi)\) gelten, oder verstehe ich die Formel falsch?

DIe Kreisfrequenz \(\omega_0\) ist per Definition \(\omega_0\geq 0\), in dem Fall muss sogar \(\omega_0> 0\)   gelten

vor von

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Aloha :)

Das Additionstheorem für die Sinus-Funktion liefert:$$x(t)=A\sin(\omega_0t+\phi)=\red{A\sin\phi}\cos\omega_0t+\green{A\cos\phi}\sin\omega_0t$$

Koeffizientenvergleich mit der Lösung liefert weiter:$$\red{x_0=A\sin\phi}\quad;\quad\green{\frac{v_0}{\omega_0}=A\cos\phi}$$

Daraus folgt für \(A\) und \(\phi\):$$\tan\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{A\sin\phi}{A\cos\phi}=\frac{x_0}{\frac{v_0}{\omega_0}}=\frac{x_0\omega_0}{v_0}\implies\phi=\arctan\left(\frac{x_0\omega_0}{v_0}\right)$$$$x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega_0^2}=A^2\sin^2\phi+A^2\cos^2\phi=A^2\implies A=\pm\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega_0^2}}$$

Das \(A\) muss nicht zwingend positiv sein. Wenn ihr das in der Vorlesung als positiv vereinbart habt, musst du ggf. zum \(\phi\) noch den Wert \(\pi\) addieren, denn:$$\cos(\phi+\pi)=-\cos(\phi)\quad;\quad\sin(\phi+\pi)=-\sin(\phi)$$

Per Definition ist \(\omega_0\ge0\). Daher gilt \(\phi\ge0\), wenn \(x_0\) und \(v_0\) gleiches Vorzeichen haben, und \(\phi\le0\), wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben.

vor von 118 k 🚀
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Hallo

φ kann ja positiv und negativ sein, ebenso tan(φ) 

Gruß lul

vor von 86 k 🚀

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