Richtungsableitung Schnittfunktion bestimmen

Question

Aufgabe: Bei dieser Aufgabe soll die Richtungsableitung in Richtung e im Punkt (0,0) bestimmt werden.Da f nicht differenzierbar im Punkt (0,0) ist,muss man die Richtungsabletung über die Schnittfunktion bestimmmen.Mein Problem ist,dass ich nicht auf die in den Lösungen angegebene Schnittfunktion komme,wenn ich (t*1/Wurzel2,1/Wurzel2) in f einsetze.Wie muss hier umgeformt/vereinfacht werden.damit man auf die ensprechende Schnittfunktion kommt.

Text erkannt:

Vorgegeben sei in Abhängigkeit von $\alpha \in \mathbb{R}$ die Funktion
$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto z=f(x, y):=\left\{\begin{array}{cl} \frac{2 \cdot\left(x+y^{2}\right)^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \text { falls }(x, y) \neq(0,0), \\ \alpha & \text { falls }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.$

Text erkannt:

Die Schnittfunktion von $f$ im Punkt $\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0)$ in Richtung des Vektors $\vec{e}$ lautet
$h(t):=f\left(\frac{t}{\sqrt{2}}, \frac{t}{\sqrt{2}}\right)=\frac{2 \cdot(\sqrt{2}+t)^{2}}{2+t^{2}} t \in \mathbb{R} .$
Es gilt
$h^{\prime}(t)=2 \cdot \frac{2 \cdot(\sqrt{2}+t) \cdot\left(2+t^{2}\right)-(\sqrt{2}+t)^{2} \cdot 2 \cdot t}{\left(2+t^{2}\right)^{2}}, t \in \mathbb{R}$
und insbesondere
$\frac{\partial f}{\partial \vec{e}}(0,0)=h^{\prime}(0)=2 \cdot \sqrt{2}$

Comments

In Deinem Fragetext hast Du den einzusetzenden Vektor falsch angegeben. Nur ein Schreibfehler oder hast Du das auch für Drine Rechnung verwendet?

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Ne das war ein Schreibfehler,hab da das t vergessen.Aber in der Rechnung habe ich diesen Fehler nicht gemacht und bin trotzdem nicht auf die richtige Lösung gekommen.

Answer 1

Wenn man in die Funktion $f(x,y)$ für den Fall $f(x,x)$ berechnet ergibt sich

$$f(x,x) = 2 \frac{(x+1)^2}{x^2+1}$$ nun $x = \frac{t}{\sqrt{2}}$ einsetzen, ergibt

$$2 \frac{ \left( \frac{ t } { \sqrt{2} } + 1 \right)^2 } { \frac{t^2}{2}+1 } = 2 \frac{ \left( t + \sqrt{2} \right)^2 } { t^2 + 2 }$$