Prüfe die Assoziativität und Kommutativität

Question

Aufgabe

Prüfe die folgenden Verknüpfungen $\circ: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ auf Assoziativität und Kommutativität: $x \circ y=$


1) $\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}$
2) $(x+y)^{2}$

Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Überprüfung einfacher darstellen?

Answer 1

Kommutativität. Begründe warum

        $\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}} = \sqrt[3]{y^{3}+x^{3}}$

und

      $(x+y)^{2} = (y+x)^{2}$

für alle $x,y\in\mathbb{R}$ ist.

Assoziativität. Prüfe ob

        $\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}\right)}^{3}+z^{3}} = \sqrt[3]{x^{3}+{\left(\sqrt[3]{y^{3}+z^{3}}\right)}^{3}}$

und

      $\left((x+y)^{2}+z\right)^{2} = \left(x+(y+z)^{2}\right)^{2}$

für alle $x,y\in\mathbb{R}$ ist.

Wie kann ich diese Überprüfung einfacher darstellen?

Einfacher als was?

Answer 2

Für  $x \circ y=$ $\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}$ musst du für

die Assoziativität schauen, ob gilt

$(x \circ y) \circ z= x \circ ( y \circ z)$

Dazu rechne beide Seiten getrennt aus

$(x \circ y) \circ z ? x \circ ( y \circ z)$

$\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}} \circ z$     ?   $x \circ \sqrt[3]{y^{3}+z^{3}}$

$\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}} )^{3}+z^{3}}$  ?      $\sqrt[3]{x^{3}+( \sqrt[3]{y^{3}+z^{3}} )^{3}}$  

$\sqrt[3]{(x^{3}+y^{3})+z^3}$    =     $( \sqrt[3]{x^3 + (y^{3}+z^{3})}$ 

und wegen der Assoziativität für + ist das erfüllt.