Ist die Abbildung ein Ring-Homomorphismus von (ℤ,+, ·) nach (ℤg,+, ·)?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

1. (i) Sei $\mathbb{Z}_{g}$ die Menge der geraden ganzen Zahlen. Überprüfen Sie, ob $\left(\mathbb{Z}_{g},+, \cdot\right)$ ein Unterring von $(\mathbb{Z},+, \cdot)$ ist.
(ii) Ist die Abbildung
$\phi(k)=\left\{\begin{array}{ll} k & \text { falls } k \text { gerade ist } \\ k-1 & \text { falls } k \text { ungerade ist }, \end{array}\right.$
ein Ring-Homomorphismus von $(\mathbb{Z},+, \cdot)$ nach $\left(\mathbb{Z}_{g},+, \cdot\right)$ ?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

(1) (i) Sei Z gie tlenge der peraden garuen Zahlen uberpriefen fie, of $\left(\mathbb{Z}_{,},+,\right)$ein untering von $(\mathbb{Z},+, i)$ ste
Angenemen $\mathbb{Z}_{g}$ at venterring.
Die geraden gauren Zallem sind beriglich addition und multiplikation abpeschlossen
Awch pelten das Arsoriative. und Distributiogesetz. beriplich additions und multydlixation
za zigen: $\forall a, b \in \mathbb{Z}_{g} \Rightarrow a-b \in \mathbb{Z g}_{g}$
$b+(a-b)=b+a-b=a \in \mathbb{Z} g$
(ii) Ist die Abbildung
$\varphi(k)=\left\{\begin{array}{ll} k & \text { falls } k \text { ferade ist } \\ k-1 & \text { falls } k \text { unperade ist, } \end{array}\right.$
ein Ring - Momomorphismus von $(\mathbb{Z},+, \cdot)$ nach $\left(\mathbb{Z}_{g},+, \cdot\right)$ ?
Ring-Momomarshismus: $f(x+y)=f(x)+f(y) \quad \varphi(a+b)=\varphi(a)+4(b)$
$f(x y)=f(x) f(y) \quad \varphi(a b)=\varphi(a) \varphi(b)$
Ia! $\quad k$ - gerade
$\begin{array}{l} f(R+k)=f(k)+f(k) \\ f(2 k)=f(k)+f(k) \end{array}$
$\begin{array}{l} 2 k=k+R \\ 2 k=2 k \end{array}$
Nein!
$\begin{array}{l} k \text {-ungerade } \\ f(k-1) \cdot(k-1))=f(k-1) \cdot f(k-1) \\ f\left(k^{2}-2 k+1\right)=f(k-\operatorname{cr} f(k-2)(k-1) \cdot(k-1) \\ f(k(k-2)+1)=f(k-1) \text { ff }(k-1)(k-1)^{2} \\ k-1=k(k-2)+1 \end{array}$
$k-1=k-1$ - ungerade $\Rightarrow$ falsch

Hey alle!

Hilfe!

Könntet ihr bitte insgesamt alles prüfen, aber das genaue Problem ist in (ii).

Ich habe bewiesen, aber weiß nicht, ob ich dass richtig geschrieben habe.

z.B. ich habe so geschrieben:

f(2k) = 2k, weil die geraden ganzen Zahlen sind bzgl. Addition und Multiplikation abgeschlossen.

bzw.

f(k-1) = k-1, weil die ganzen Zahlen sind bzgl. Addition und Multiplikation abgeschlossen.

Also, der Sinn ist, dass ich als "k" und "2k" alle gerade Zahlen bezeichne;

bzw.

als "k-1" oder "k(k-2)+1" alle ungerade Zahlen bezeichne.

Ist das richtig oder zu dumm?

Könnten alle Leute, die Mathe an der Uni studieren, mit der Schreibweise helfen, bitte.

LG

Comments

Besitzen bei euch nicht notwendig alle Ringe per
Definition ein 1-Element bzgl. der Multiplikation?

Answer 1

Das mit dem Unterring fing gut an: Abgeschlossenheit.

Das musst aber nicht nur nennen, sondern auch beweisen:

Seien also x,y ∈ℤ_g . Dann gibt es a,b ∈ℤ mit x=2a und y=2b

==>   x+y = 2a + 2b = 2(a+b) , also x+y ∈ℤ_g .

analog mit *.

Dann musst du noch zeigen 0∈ℤg . (klar 0=0*2)

und noch zeigen: zu jedem x ∈ℤg ist auch  -x ∈ℤg

Assoziativ, distributiv etc.brauchst du nicht, das gilt

in ℤ also auch  in ℤ_g .

Comments

@S M:

Besitzen bei euch nicht notwendig alle Ringe per
Definition ein 1-Element bzgl. der Multiplikation?

Warum beantwortest du nicht meine Frage?