Zum Induktionsschluss verwenden wir die Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten (Pascal-Dreieck). Dafür müssen wir einen Summanden separat betrachten:
$$\sum_{k=0}^{n+1}k {n+1 \choose k}=n+1+\sum_{k=1}^nk\left({n \choose k}+{n \choose k-1}\right)$$
Der erste Summen-Term entspricht der Induktionsvoraussetzung, den zweiten ziehen wir auseinander:
$$...=n+1+n2^{n-1}+\sum_{k=1}^n(k-1){n\choose k-1}+\sum_{k=1}^n{n\choose k-1}$$
$$=n+1+n2^{n-1}+\sum_{k=0}^{n-1}k{n\choose k}+\sum_{k=0}^{n-1}{n\choose k}$$
Die erste Summe entspricht der Induktionsvoraussetzung - bis auf den letzten Summand. Die zweite Summe ist \((1+1)^n\) - bis auf den letzten Summand:
$$...=n+1+n2^{n-1}+n2^{n-1}-n+2^n-1=(n+1)2^n$$
