Bestimme alle reellen Lösungen für die Gleichungen

Question

Aufgabe:

(c)
$\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x-1}$
(d)
$\lambda \cdot y-\lambda \cdot x^{2}=0,$
wobei $x$ und $y$ Variablen sind und $\lambda$ ein Parameter. Welche Kombinationen von $x$ und $y$ lösen die Gleichung?

Problem/Ansatz:

Leider komme ich bei beiden aufgaben nicht weiter.

Bei c war mein Ansatz wie folgt:

$\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x-1}$
$\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x-1}=0$
$\left(x^{2}-1\right)^{\frac{1}{2}}-(x-1)^{\frac{1}{2}}=0$

Jedoch komme ich nicht weiter.

Bei d bin ich komplett verloren, ohne jeglichen Ansatz…

Answer 1

Hallo,

c)

x-1≥0 → x≥1

$\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x-1}~~~~~|(...)^2$

$x^2-1=x-1$

usw.

Reelle Lösung: x=1

d)

$\lambda \cdot y-\lambda \cdot x^{2}=0$

$\lambda \cdot( y- x^{2})=0$

Für $\lambda=0$ können x und y beliebige Werte annehmen.

Für $\lambda\ne0$ gilt $y=x^2$.

Answer 2

$\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x-1}$

${x^{2}-1}={x-1}$

${x^{2}}={x}$

${x^{2}}-{x}=0$

$x₁=0∨x₂=1$

Probe mit Einsetzen: Es ist nur $x₂=1$  gültig.

Answer 3

Quadrieren:

x²-1 = x-1y

x²-x =0

x(x-1) =0

x = 0 v x=1

Lösung überprüfen, weil Quadrieren keien Äquivalenzumformung ist

x= 0 entfällt als Lösung

Die Gleichung ist in R für x = 0 nicht definiert.

d)

L*y-L*x² =0

L*(y-x²) = 0| :L , L ≠0

y-x² =0

x² =y

x= +-√y