Zeigen Sie, dass X ein Intervall ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( X \subset \mathbb{R} \) eine beschränkte Teilmenge mit folgender Eigenschaft:
Für alle \( a, b \in X \) mit \( a<b \) gilt \( [a, b] \subset X \).
Zeigen Sie, dass \( X \) ein Intervall ist.

Problem/Ansatz:

wie zeigt man, dass eine Menge ein Intervall ist.

Answer 1

Wenn X ein Intervall ist, dann gibt es u,v ∈ ℝ so, dass eine der 4 Gleichungen gilt:

X = [u,v]  oder X = [u,v[   oder X = ]u,v]  oder X = ]u,v[ .

und bedenke: Jede beschränke Teilmenge von ℝ besitzt

inf und sup .

Comments

Danke schon mal für den Ansatz:

N ist beschränke Teilmenge daraus folge, sie besitzt ein sup und inf.

Aber inf und sup müssen nicht unbedingt in der Menge (Intervall) liegen.

Deswegen kann man immer noch nicht entscheiden, welche der 4 Intervalle ist in dem Fall das richtige.

wobei in der Frage sollte gezeigt werden, dass Intervall X = [u,v] gilt

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wobei in der Frage sollte gezeigt werden, dass Intervall X = [u,v] gilt

Das kann ich der Fragestellung nicht entnehmen. Auch das Intervall ]0,1[ efüllt die Bedingungen der Aufgabe

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Vermutlich brauchst du nur Fallunterscheidungen zu

treffen, so etwa nach

(i)  sup(X)∈X und inf(X)∈X

(ii) sup(X)∉X und inf(X)∈X  etc.