Bestimmen Sie, ob ℚ2 zusammen mit diesen Verknüpfungen einen Körper bildet.

Question

Aufgabe:

(i)

Auf ℚ² = ℚ×ℚ seien die Verknüpfungen +,⋅ ∶ℚ²×ℚ² → ℚ² koordinatenweise gegeben, also durch die Festlegungen

(a,b) +(a′,b′) = (a+a′,b+b′)  und (a,b) ⋅ (a′,b′) = (a ⋅ a′,b ⋅ b′)  für alle a,b,a′,b′ ∈ ℚ.

Bestimmen Sie, ob ℚ² zusammen mit diesen Verknüpfungen einen Körper bildet.

(ii)

Geben Sie geeignete Additions- und Multiplikationstafeln für endliche Körper F₃ und F₄ mit drei bzw. vier Elementen an.

Answer 1

Zu (i)

Suche nach Nullteilern. Sicher wirst du fündig
und weißt damit, dass hier kein Körper vorliegt.

Comments

Und wie gehe ich am besten vor?

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Indem du nach $(a,b),(c,d)\neq (0,0)$ suchst, so dass

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)=(0,0)$ gilt. Probier ein bisschen rum.

Es ist nicht schwer.