Zeigen Sie, dass die Folge (an)

Question

Aufgabe

Zeigen Sie, dass die Folge (an) mit

         n

an :=  Σ  1÷( k (k+1))    , n ≥1

        k=1

Gegen 1 konvergiert.

( an = a klein n)

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{(k+1)}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}\right)$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac{1}{k+1}\right)=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k-\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k+1}=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k-\sum\limits_{k=1\pink{+1}}^{n\pink{+1}}\frac{1}{(k\pink{-1})+1}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}=\left(\pink{\frac11}+\sum\limits_{k=\pink2}^n\frac1k\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^{\pink n}\frac{1}{k}+\pink{\frac{1}{n+1}}\right)=1-\frac{1}{n+1}$$

Für \(n\to\infty\) erhalten wir als Grenzwert der Folge \((a_n)\):$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1-0=1$$