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Ich komm bei der Aufgabe nicht weiter:

Untersuchen Sie die Folge an := (1- (1/n))^{3n} * (1+(1/n))^{n-3} auf Konvergenz und bestimmen Sie (wenn möglich) den Grenzwert.

Hinweis: limn->∞(1-(1/n))^n = e^{-1}

Folgendes habe ich umgeformt um den Grenzwert herauszufinden:

(1- (1/n))^{3n} * (1+(1/n))^{n-3} = ((1-(1/n))^n)^3 * (1+(1/n))^{n-3} = (e^{-1})^3 * (1+(1/n))^{n-3} = e^{-3} * ((1+1/n)^n)/((1+1/n)^3) = e^{-3} * e/((1+(1/n))^3)

Da nun der Nenner (1+1/n) gegen 1+0 geht, also 1, ist der Grenzwert e^{-3} * e/1, bzw. e^{-3} * e. Stimmt das so ?

von

1 Antwort

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Ich finde das ganz OK.

von 229 k 🚀

Danke, aber wie mach ich nun weiter ?

Ist doch fertig, nur deine Schreibweise ist nicht ganz exakt, eher so:

(1- (1/n))3n * (1+(1/n))n-3
= ((1-(1/n))n)3 * (1+(1/n))n-3
= ((1-(1/n))n)3 *  ((1+1/n)n) / ((1+1/n)3)

Und die ersten beiden Faktoren haben den Grenzwert e-3 bzw. e

und der Divisor den Grenzwert 1, also ist nach den Grenzwertsätzen

der Grenzwert der Folge

= e-3 * e/  1    = e-2 .

Eine Frage wie kommt es dazu, dass das e / ((1+1/n)3) zu e/1 wird? 

Weil der Grenzwert von ((1+1/n)^3) 1 ist, da 1/n gegen 0 konvergiert -> (1+0)^3 = 1 also folgt daraus -> e/1

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