Aloha :)
Wir untersuchen die 4 Vektoren zunächst auf lineare Abhängigkeiten, indem wir eine gemeinsame Basis suchen. Dazu rechnen wir die linearen Abhängigkeiten mit elementaren Spaltenoperationen heraus. Unser Ziel ist es, so viele Zeilen wie möglich zu generieren, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen:
$$\begin{array}{rrrr} & & -3S_2 & -2S_2\\\hline0 & 1 & 3 & 2\\1 & 1 & 4 & 1\\1 & 2 & 7 & 3\\2 & 1 & 5 & 0\end{array}\to\begin{array}{rrrr} & -S_1 & -S_1 & +S_1\\\hline0 & 1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & -1\\1 & 2 & 1 & -1\\2 & 1 & 2 & -2\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & & \\\hline0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\2 & -1 & 0 & 0\end{array}$$
Offensichtlich brauchen wir für den Vektorraum 2 Basisvektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\). Alternativ kannst du auch die ursprünglichen Vektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) als Basis wählen.
Damit beantworten wir nun die Fragen sehr leicht:
zu c) Ja klar, wir können \(\vec v_4\) aus den beiden Basisvektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) zusammensetzen. Die Lösung können wir sogar sofort hinschreiben, da wegen der \(x_1\)-Koordinate klar ist, dass wir \(\vec v_2\) doppelt brauchen. Dann muss \(\vec v_1\) subtrahiert werden, damit die anderen Koordinaten passen:$$\begin{pmatrix}2\\1\\3\\0\end{pmatrix}=(-1)\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\\1\end{pmatrix}$$
zu d) Ja klar. Der Vektor \(\vec v_3\) hängt ja von \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) ab, liegt also in der von \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) aufgespannten Hyperebene \(\text{Span}(\vec v_1;\vec v_2)\).
