Beweisen Sie nun, dass für beliebige p, n ∈ ℕ0 gilt

Question

Aufgabe:

Für festes m, n ∈ ℕ₀ definiere man $s_n^{(m)} \coloneqq \sum \limits_{k=1}^{n} k^m$ .

(i) Beweisen Sie nun, dass für beliebige p, n ∈ ℕ₀ gilt:

$\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n}^{(m)} = (n+1)^{p+1} -1$

Hinweis: Wählen Sie p ∈ ℕ₀ fest und führen Sie eine vollständige Induktion über n durch.
Denken Sie außerdem an den Binomischen Lehrsatz!

(ii) Berechnen Sie Darstellungsformeln von s_n⁽⁰⁾, s_n⁽¹⁾ und s_n⁽²⁾ unter Verwendung von Teil (i).

Comments

$\LaTeX$ wird gerendert, wenn du es in \( und \) einschließt.

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Der direkte Beweis wäre einfacher, aber es war ja so verlangt.

Answer 1

Wählen Sie p ∈ ℕ0 fest und führen Sie eine vollständige Induktion über n durch:

Nach den Ind.anfang musst du also nur noch zeigen, dass aus

$\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n}^{(m)} = (n+1)^{p+1} -1$

für ein gedachtes n , die Formel auch für n+1 folgt , also

$\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n+1}^{(m)} = (n+2)^{p+1} -1$.

Also etwa so anfangen

$\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n}^{(m)}$

$=\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (s_{n}^{(m)}+(n+1)^m )$

$=\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} s_{n}^{(m)}+\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m$

Für die erste Summe die Ind.annahme einsetzen gibt

$= (n+1)^{p+1} -1+\sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m$   #

und jetzt mal vom Ergebnis ausgehen, es müsste geben: $(n+2)^{p+1} -1$

Da ist der Tipp mit dem binomi. Satz hilfreich:

$(n+2)^{p+1} -1 = ((n+1)+1)^{p+1} -1$

$= \sum \limits_{m=0}^{p+1} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m \cdot 1^{p+1-m} -1$

$= \sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m + \begin{pmatrix} p+1\\p+1 \end{pmatrix} (n+1)^{p+1} -1$

$= \sum \limits_{m=0}^{p} \begin{pmatrix} p+1\\m \end{pmatrix} (n+1)^m + (n+1)^{p+1} -1$

und das nun mit  # vergleichen.  Bingo !