Wählen Sie p ∈ ℕ0 fest und führen Sie eine vollständige Induktion über n durch:
Nach den Ind.anfang musst du also nur noch zeigen, dass aus
m=0∑p(p+1m)sn(m)=(n+1)p+1−1
für ein gedachtes n , die Formel auch für n+1 folgt , also
m=0∑p(p+1m)sn+1(m)=(n+2)p+1−1.
Also etwa so anfangen
m=0∑p(p+1m)sn(m)
=m=0∑p(p+1m)(sn(m)+(n+1)m)
=m=0∑p(p+1m)sn(m)+m=0∑p(p+1m)(n+1)m
Für die erste Summe die Ind.annahme einsetzen gibt
=(n+1)p+1−1+m=0∑p(p+1m)(n+1)m #
und jetzt mal vom Ergebnis ausgehen, es müsste geben: (n+2)p+1−1
Da ist der Tipp mit dem binomi. Satz hilfreich:
(n+2)p+1−1=((n+1)+1)p+1−1
=m=0∑p+1(p+1m)(n+1)m⋅1p+1−m−1
=m=0∑p(p+1m)(n+1)m+(p+1p+1)(n+1)p+1−1
=m=0∑p(p+1m)(n+1)m+(n+1)p+1−1
und das nun mit # vergleichen. Bingo !