Formuliere die Fixpunktabbildung für das AWP

Question

Aufgabe:

In der Aufgabe soll die Fixpunktfolge für das Problem u´(t)=t*(u(t)+1), u(s)=S=u(0)=0 berechnet werden, wobei wir u₀=(0)_t∈[-1,1] wählen.

Formuliere die Fixpunktabbildung Ψ für das AWP und berechne u₁,..,u₄

Problem/Ansatz:

Fixpunktabbildung: Ψ(u)(t)=S+$\int\limits_{s}^{t}$F(x,u(x))dx

Durch den Seperationsansatz habe ich u(t)=exp($\frac{1}{2}$ t²)-1 erhalten. Wie genau mache ich nun weiter?

Answer 1

Hier ist mit den Daten der Aufgabe

$$\Phi(u)(t)=0+\int_0^t \left(x(u(x)+1)\right) \; dx$$

Jetzt berechnest Du

$$u_1(t):=\Phi(u_0)(t)=\int_0^t \left(x(0+1)\right) \; dx$$

Damit

$$u_2(t):=\Phi(u_1)(t)=0+\int_0^t \left(x(u_1(x)+1)\right) \; dx$$

usw.

Comments

Für mein Verständnis, wie würden die restlichen u_3 und u_4 aussehen?

Vielen Dank :)

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allgemein $u_{n+1}=\Phi(u_n)$