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Aufgabe:

Rekursive Folge

Die reelle Folge \( \left(a_{n}\right) \) sei rekursiv definiert durch \( a_{1}:=1 \quad \) und \( \quad a_{n+1}:=\frac{1}{\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}} \) für \( n \geq 1 \).
Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) divergiert und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \) gilt.


Problem/Ansatz:

Kann man zeigen, dass sie divergiert, indem man mehrere Folgeglieder ausrechnet? Weil zum Beispiel bei a2 würde dann ja wieder 1 rauskommen. Könnte man daraus schließen, dass die Folge divergiert? Also reicht das als Beweis?

Aber irgendwie macht das ja wieder keinen Sinn, weil bei a3 würde ja nicht mehr 1 rauskommen, dann wäre die ja doch Konvergent... ich bin jetzt komplett verwirrt...

Und wie zeigt man das mit dem Limes?

von

Benutze an+1 = 1/(1/an+an) und das übliche Vorgehen zur Feststellung der Konvergenz und des Grenzwertes rekursiv definierter Folgen.

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