Zeigen ob jede Lipschitz.stetige Funktion gleichmäßig stetig ist.

Question

Aufgabe:

$$\text{Sei } D \subset \mathbb R. \text{ Eine Funktion } f:\space D\rightarrow \mathbb R \text{ heißt Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten } \newline L\in \mathbb R_+\text{ falls } |f(x)-f(x^\prime)| \leq L|x-x^\prime|\space\forall x,x^\prime\in D\text{ gilt.}$$

$$\text{(a) Zeige, dass jede Lipschitz-stetige Funktion gleichmäßig stetig ist.}$$

$$\text{(b) Zeige, dass die Funktion } f:\space [0,1]\rightarrow \mathbb R,\space f(x)=\sqrt x \text{ stetig ist.}$$

$$\text{(c) Zeige, dass die Funktion } f:\space [0,1]\rightarrow \mathbb R,\space f(x)=\sqrt x \text{ gleichmäßig stetig ist, aber nicht Lipschitz-stetig ist.}$$

Ich bräuchte hier etwas Hilfe.

Answer 1

Hallo

a) du musst nur die Definition für gleichmäßige Stetigkeit benutzen und L ist fest.

c ) bei  gegen  x=0 musst du δ immer kleiner machen, du findest kein L was bis 0 gilt.

Gruß lul