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Aufgabe:

3 von 32 Skaatkarten werden gezogen. Die ersten beiden Karten werden aufgedeckt, und nun wird gefragt, ob die dritte Karte im Wertebereich der anderen Zwei liegt oder nicht.

Beispiel: 1. Karte ist eine Bube, 2. Karte ist eine 8. Das bedeutet, die dritte Karte m├╝sste entweder eine Bube, 9 oder 8 sein, um in dem Bereich zu liegen.

Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, mit welcher man diese Frage richtig beantwortet


Problem/Ansatz:

Ich habe nun die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet, das die Dritte Karte Innerhalb oder Au├čerhalb liegt.

Wahrscheinlichkeit, wenn man Innerhalb gew├Ąhlt hat dass das stimmt: $$\frac{199}{465}$$

Wahrscheinlichkeit, wenn man Au├čerhalb gew├Ąhlt hat, dass das stimmt: $$\frac{353}{465}$$

Ich war zuerst verwirrt, das die beiden Wahrscheinlichkeiten addiert nicht 1 ergeben, aber das ergibt Sinn. (Wenn ihr meine Rechnung ben├Âtigt fragt einfach)

Nun m├Âchte ich wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man diese Frage (Innerhalb oder Au├čerhalb) richtig beantwortet.

Einfach Addieren kann man die Wahrscheinlichkeiten ja nicht. Ich habe folgenden Ansatz versucht:

$$\frac{1}{2}*\frac{199}{465}+\frac{1}{2}*\frac{353}{465}=\frac{92}{155}$$

Kann man das so einfach machen?

von

1 Antwort

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und nun wird gefragt, ob die dritte Karte im Wertebereich der anderen Zwei liegt oder nicht.

Ich kenne dann ja schon die beiden Karten. Dann w├╝rde ich bis einer Differenz von 3 zu 100% "Au├čerhalb" w├Ąhlen und ab einer Differenz von 4 zu 100% "Innerhalb" w├Ąhlen.

\(\frac{1}{2}*\frac{199}{465}+\frac{1}{2}*\frac{353}{465}=\frac{92}{155}\)

Da gehst du von einer gleichverteilten Entscheidung zwischen "Innerhalb" und "Au├čerhalb" aus.

Au├čerdem bezweifel ich die \(\frac{353}{465}\). Warum sollte die Summe nicht 1 ergeben.

von 91 k ­čÜÇ
Ich kenne dann ja schon die beiden Karten. Dann w├╝rde ich bis einer Differenz von 3 zu 100% "Au├čerhalb" w├Ąhlen und ab einer Differenz von 4 zu 100% "Au├čerhalb" w├Ąhlen.

Das stimmt, dadurch ergibt sich eine andere Verteilung als \(\frac{1}{2}\) Es gibt Insgesamt 64 verschiedene kombinationen von Differenzen, davon sind 44 <=3 und 20 > 3. Also rechne ich jetzt anstatt $$\frac{1}{2}*\frac{199}{465}+\frac{1}{2}*\frac{353}{465}=\frac{92}{155}$$ folgendes: $$\frac{20}{64}*\frac{199}{465}+\frac{44}{60}*\frac{353}{465}=\frac{19512}{29760}$$ Danke!

Au├čerdem bezweifel ich die \(\frac{353}{465}\). Warum sollte die Summe nicht 1 ergeben.

Ich habe das so gerechnet:

Es gibt 8 verschiedene Differenzen (0-7). Bei Differenz 0 und 1 ist die Wahrscheinlichkeit Au├čerhalb zu landen dann \(\frac{30}{30}\) Ab Differrenz 2 nimmt dann die Wahrscheinlichkeit um 4 g├╝nstige "pro Differenz" ab.

Also Rechne ich die Wahrscheinlichkeiten f├╝r jede Differenz aus und addiere dann diese Wahrscheinlichkeiten.

Differenz 0: $$\frac{4}{32}*\frac{3}{31}*\frac{30}{30}*8$$Der Faktor 8 steht f├╝r die 8 verschiedenen Kombinationen der Differenz 0

Differenz 1: $$\frac{4}{32}*\frac{4}{31}*\frac{30}{30}*14$$

Differenz 2: $$\frac{4}{32}*\frac{4}{31}*\frac{26}{30}*12$$

Und so weiter. Am Ende komme ich dann auf \(\frac{353}{465}\)

Meiner Meinung m├╝sste das so stimmen, oder habe ich einen Denkfehler drin?

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz der ersten beiden Karten \(0\) betr├Ągt und die dritte Karte Au├čerhalb liegt, ist

        \(\frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{28}{30}\cdot 8\).

Die 28 kommt dadurch zustanden, dass von den 30 verbliebenen Karten die zwei verbliebenen ausgeschlossen wurden, die den Wert der ersten beiden Karten haben.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz der ersten beiden Karten \(1\) betr├Ągt und die dritte Karte Au├čerhalb liegt, ist

      \(\frac{4}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{20}{30}\cdot 14\).

Die 20 kommt dadurch zustande, dass von den 30 verbliebenen Karten \(3 + 4 + 3=10\) Karten ausgeschlossen wurden.

Die 28 kommt dadurch zustanden, dass von den 30 verbliebenen Karten die zwei verbliebenen ausgeschlossen wurden, die den Wert der ersten beiden Karten haben.

Guter Gedanke, aber das ist eine Besonderheit dieses Spiels (Das Experiment ist aus dem (Drink-)Spiel "Busfahren" entnommen). Wenn die dritte Karte gleich ist wie eine der ersten beiden Karten, dann ist diese Karte Innerhalb und Au├čerhalb zugleich.

Wenn man Z.B. 2x eine 9 Zieht, w├╝rde eine weitere 9 als Innerhalb und Au├čerhalb z├Ąhlen, also w├Ąre beides Richtig. Ich denke auch deshalb ergeben die beiden Wahrscheinlichkeiten am Ende nicht 1.

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