Zeigen , Summe Zeichen

Question

Aufgabe:

$\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} \frac{x^{k}-d^{k}}{x-\alpha}=\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j}$

möglichst ausführlich zeigen, Schritt für Schritt

Comments

kann es sein, das dass $d$ ein $\alpha$ sein soll?

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Ja stimmt! d =a , sorry für falsches Eintippen

Answer 1

$\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} \frac{x^{k}-\alpha^{k}}{x-\alpha}=\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j}$

Mache vollst. Induktion.

Für n=1 ist es wohl klar.

Es gelte für n    #

==>  $\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n+1} a_{k} \frac{x^{k}-\alpha^{k}}{x-\alpha}$

   $\displaystyle= \sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} \frac{x^{k}-d^{k}}{x-\alpha} +a_{n+1} \frac{x^{n+1}-\alpha^{n+1}}{x-\alpha}$

Dann # einsetzen

$\displaystyle= \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} +a_{n+1} \frac{x^{n+1}-\alpha^{n+1}}{x-\alpha}$ 

Die klassische Formel $a^n - b^n = (a-b) \sum \limits_{i=0}^{n-1} a^{n-1-i}b^{i}$

(Die man auch mit vollst Ind. beweisen kann.) gibt dann

$\displaystyle= \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} +a_{n+1} \frac{ (x-\alpha)\sum \limits_{i=0}^{n} x^{n-i}\alpha^i }{x-\alpha}$

kürzen gibt

$\displaystyle= \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} +a_{n+1} \sum \limits_{i=0}^{n} x^{n-i}\alpha^i$

und wenn man die letzte Summe andersherum laufen lässt

$\displaystyle= \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} +a_{n+1} \sum \limits_{i=0}^{n} x^{i}\alpha^{n-i}$

Passt zum Ergebnis der zu beweisenden Formel für n+1:

$=\sum \limits_{k=1}^{n+1} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j}$  q.e.d.

Answer 2

Für $\alpha=0$ ist die Gleichung offenbar richtig.

Sei daher $\alpha\neq 0$ und $z=x/{\alpha}$. Dann ist

die linke Seite$$=\sum_{k=0}^n a_k\frac{\alpha^k}{\alpha}\frac{z^k-1}{z-1}=\sum_{k=0}^n a_k\frac{z^k-1}{z-1}\alpha^{k-1}$$Die Formel über die geometrische Summe liefert$$=\sum_{k=0}^n a_k(\sum_{j=0}^{k-1}\frac{x^j}{\alpha^j})\alpha^{k-1}$$Das ist die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung.