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Aufgabe:

\(\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} \frac{x^{k}-d^{k}}{x-\alpha}=\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} \)

möglichst ausführlich zeigen, Schritt für Schritt

von

kann es sein, das dass \(d\) ein \(\alpha\) sein soll?

Ja stimmt! d =a , sorry für falsches Eintippen

2 Antworten

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Beste Antwort

\(\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} \frac{x^{k}-\alpha^{k}}{x-\alpha}=\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} \)

Mache vollst. Induktion.

Für n=1 ist es wohl klar.

Es gelte für n    #

==>  \(\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{n+1} a_{k} \frac{x^{k}-\alpha^{k}}{x-\alpha}\)

   \(\displaystyle=  \sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} \frac{x^{k}-d^{k}}{x-\alpha}  +a_{n+1} \frac{x^{n+1}-\alpha^{n+1}}{x-\alpha}\)

Dann # einsetzen

\(\displaystyle=  \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j}  +a_{n+1} \frac{x^{n+1}-\alpha^{n+1}}{x-\alpha}\) 

Die klassische Formel \( a^n - b^n = (a-b)  \sum \limits_{i=0}^{n-1} a^{n-1-i}b^{i}   \)

(Die man auch mit vollst Ind. beweisen kann.) gibt dann

\(\displaystyle=  \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j}  +a_{n+1} \frac{  (x-\alpha)\sum \limits_{i=0}^{n} x^{n-i}\alpha^i }{x-\alpha}\)

kürzen gibt

\(\displaystyle=  \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j}  +a_{n+1} \sum \limits_{i=0}^{n} x^{n-i}\alpha^i \)

und wenn man die letzte Summe andersherum laufen lässt

\(\displaystyle=  \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j}  +a_{n+1} \sum \limits_{i=0}^{n} x^{i}\alpha^{n-i}  \)

Passt zum Ergebnis der zu beweisenden Formel für n+1:

\(  =\sum \limits_{k=1}^{n+1} a_{k} \sum \limits_{j=0}^{k-1} x^{j} \alpha^{k-1-j} \)  q.e.d.

von 265 k 🚀
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Für \(\alpha=0\) ist die Gleichung offenbar richtig.

Sei daher \(\alpha\neq 0\) und \(z=x/{\alpha}\). Dann ist

die linke Seite$$=\sum_{k=0}^n a_k\frac{\alpha^k}{\alpha}\frac{z^k-1}{z-1}=\sum_{k=0}^n a_k\frac{z^k-1}{z-1}\alpha^{k-1}$$Die Formel über die geometrische Summe liefert$$=\sum_{k=0}^n a_k(\sum_{j=0}^{k-1}\frac{x^j}{\alpha^j})\alpha^{k-1}$$Das ist die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung.

von 21 k

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