Cauchy Folgen Beweis

Question

Es sei $\left(X_{n}\right)$ eine Cauchy-Folge reeller Zahlen. Es gelte sogar
$\forall n \in \mathbb{N}: \forall k, m \geq n:\left|X_{k}-X_{m}\right|<\frac{1}{n}$
Weiter seien für alle $n \in \mathbb{N}$
$X_{n}=\left[\left(x_{p}^{n}\right)_{p \in \mathbb{N}}\right]$ und $\left(x_{p}^{n}\right)_{p \in \mathbb{N}}$ rationale Cauchy-Folgen mit
$\forall p \in \mathbb{N}: \forall a, b \geq p:\left|x_{a}^{n}-x_{b}^{n}\right|<\frac{1}{p}$
Hinweis: Um die Notation zu vereinfachen sind diese Folgen so gegeben, dass die Abbildungen $\phi$ und $\theta$ aus der Vorlesung jeweils die Identität sind.
Wir definieren $z_{k}:=x_{k}^{k}$ für alle $k \in \mathbb{N}$.
Beweisen Sie, dass $X_{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}\left[\left(z_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\right]$ gilt. Sie dürfen benutzen, dass $\left(z_{k}\right)$ eine CauchyFolge in $\mathbb{Q}$ ist.

Bis jetzt habe ich leider keinen Ansatz.
Vielen Dank!

Comments

Wenn ich den Aufgabentext richtig interpretiere, dann geht es hier um "reelle Zahlen" die als Cauchy-Folgen rationaler Zahlen definiert sind - oder? Wie ist dann Konvergenz für diese "reelle Zahlen" definiert?