Cauchy Folgen - Konvergenz beweisen

Question

Aufgabe:

Cauchy-Folgen

Es seien \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) beliebige Folgen in \( \mathbb{R} \) und \( c_{n}:=\left|a_{n}-b_{n}\right| \) für \( n \in \mathbb{N} \). Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) Für beliebige \( a, b, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) gilt ||\( a-b|-| \alpha-\beta|| \leq|a-\alpha|+|b-\beta| \).
(b) Sind \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) beide Cauchy-Folgen, so ist die Folge \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent in \( \mathbb{R} \).
(c) Ist \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent, so sind \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) Cauchy-Folgen.

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe (a) habe ich schon und für die (b) habe ich auch einen Ansatz. Aber bei der (b) bin ich mir nicht sicher. Die (c) habe ich jedoch gar nicht hinbekommen. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Seien  \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) beide Cauchy-Folgen.

Sei ε∈ℝ und ε>0. ==> Es gibt eine N ∈ ℕ so dass für alle m,n > N gilt

|a_m - a_n | < ε/2   und  |b_m - b_n | < ε/2

==>  \(   |a_m - a_n | +   |a_m - a_n | < ε \)   wegen a) folgt

        \( | |a_m - b_m | -  |a_n - b_n | | < ε \)

<=>   \( | c_m -  c_n | < ε \)

Also ist \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Cauchyfolge und wegen

der Vollständigkeit von ℝ konvergent.

Wegen der Vollständigkeit von haben beide je einen Grenzwert bzw. a und b.

, so ist die Folge \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent in \( \mathbb{R} \).