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Aufgabe 1: Rekursion
Lösen Sie (mit der Standardmethode) die Rekursion an = an-1 -4an-2 - 4an-3 mit
den Anfangsbedingungen

a0 = 4

a1 = 6 und

a2 = 10.

-----------------------------------------------

Als aller erstes habe ich den charakteristischen Polynom aufgestellt: 

i.)x3 - x2+ 4x +4

ii.)Nullstellen bestimmt:

(kam aber zerquetschte zahlen raus)

iii.)allg. ansatz: an = alpha*(NS1 )n *(Beta*(NS2)^n) ........

iv.)LGS aufstellen mit den anfangsbed.

(1)4=alpha +beta............//für n=0

(2)6=.......                         //für n=1

(3)10=

 

 

Ich weiß nicht wie ich die aber lösen soll für grad 3

Kann mir jemand helfen.........Vielen Dank

von
Schau mal ob du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast. Dein charakteristisches Polynom ist richtig. Das Polynom liefert allerdings nur eine Nullstelle in R und 2 weitere komplexe Nullstellen.

Das ist das was du mit zerquetscht bezeichnest. Von daher wäre das ganze so nicht so einfach lösbar.

Ich nehme daher an, dass eventuell die Aufgabenstellung nicht so ist wie sie eigentlich sein sollte.

ich vermute das dass charakt. polynom eher x^3 -x^2 +4x +4 lautet

Die Aufgabenstellung wurde korrigiert:

an = an-1 + 4an-2 - 4an-3

2 Antworten

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Ich würde fast vermuten, da hat jemand beim Stellen der Aufgabe nicht aufgepasst und mein eigentlich die Rekursion an + an-1 - 4an-2 - 4an-3 = 0
Die ist nämlich relativ leicht zu lösen (und führt auf das Ergebnis

an = -(-2)n+2*(-1)n+3*2n


Du hast aber Recht mit dem charakteristischen Polynom, das lautet:

P(x) = x3 - x2 + 4x + 4

Dessen Nullstellen lassen sich nur Recht schwer finden, was daran liegt, dass es nur eine reelle Nullstelle hat, wie der Mathecoach schon bemerkt hat. Möglich ist die Lösung natürlich trotzdem aber sehr, sehr aufwändig.

Mit den cardanischen Formeln erhält man die Nullstellen des Polynoms als

$$ \begin{array} { l } { x _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 } \left( 1 - \frac { 11 } { \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } } + \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } \right) } \\ { x _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } + \frac { 11 ( 1 - i \sqrt { 3 } ) } { 6 \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } } - \frac { 1 } { 6 } ( 1 + i \sqrt { 3 } ) \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } } \\ { x _ { 3 } = \frac { 1 } { 3 } + \frac { 11 ( 1 + i \sqrt { 3 } ) } { 6 \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } } - \frac { 1 } { 6 } ( 1 - i \sqrt { 3 } ) \sqrt [ 3 ] { 6 \sqrt { 177 } - 71 } } \end{array} $$


Und damit die allgemeine Lösung des Problems als:

an = c1 x1n + c2x2n + c3x3n

Problematisch wird es jetzt allerdings, die Konstanten auszurechnen. Da das Ergebnis eine reelle Zahl sein muss, weiß man auf jeden Fall, dass c2=c3*, also Re(c2)=Re(c3) und Im(c2)=-Im(c3) gelten muss. Damit "vereinfacht" sich die Rechnung zwar ein bisschen und natürlich ist sie auch prinzipiell möglich, aber da die Aufgabe nur 5 Punkte gibt, schätze ich, dass sich hier einfach jemand vertan hat.

Dozenten und Übungsleiter sind ja auch nur Menschen.

von 10 k
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nun also mit + statt - :   an = an-1 + 4an-2 - 4an-3

Ich rechne immer mit dem Iterationsrechner:   

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@NaB=Array(4,6,10);@N@Bi+3]=@Bi+2]+4*@Bi+1]-4*@Bi];@Ci]=@P2,i+1)+2;@Ni%3E16@N0@N0@N#  

(LINK endet mit N# und beinhaltet alle Formeln)

Die explizite Formel zur Rekursion lautet also aC[i]=pow(2,i+1)+2  = 2^{i+1}+2  siehe Bild:

Bild Mathematik

von 5,6 k

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