Ist folgende Funktion stetig?

Question

Text erkannt:

Ist die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \),
\( f(x)=\left\{\begin{array}{cll} \sin (x) \sin \left(1 / x^{2}\right) & \text { für } & x \neq 0 \\ 0 & \text { für } & x=0 \end{array}\right. \)
stetig ?

Beweis: Für x∈R /{0} ist f(x) als Zusammensetzung steiger Funktionen wieder stetig. Betrachtet man jetzt x=0. Somit folgt aus (sin(x)²+cos(x)²=1

(sin(x)²=1-(cos(x)²  ⇒|sin(x)≤1

Also gilt: |f(x)-f(0)| = |sin(x)*sin(1/x²)|<=|x|

Für eine beliebige Folge (x_n) mit x_n--->0 folgt

lim_{x_n-->0} |f(x_n)-f(0)| ≤ lim_{x_n--->0} |x_n|=0

und somit auch f(x_n) -->f(0). Also ist f auf ganz R stetig

Ist das richtig oder ist etwas falsch?

Comments

Ist fast perfekt.

Fall ihr noch nicht die Ungleichung \( |\sin x| \leq |x|\) hattet, müsstest du gegen\(|\sin x|\) statt gegen \(|x|\) abschätzen.

Und bei den Folgen \(x_n \rightarrow 0\) musst du noch \(x_n \neq 0\) verlangen.

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Ok dann schätze ich lieber gegen |sin(x)| ab. Die hatten wir bisher noch nicht, und auf einen extra Beweis für die Ungleichung ,würde ich gerne verzichten. Und wie meinst du x_n ≠0? Meinst du bei der Annahme für eine beliebige Folge, dass das zusätzlich vorausgesetzt werden soll?

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Da du den Grenzwert an der Stelle \(x=0\) betrachtest, darf die Stelle \(x=0\) nicht "betreten" werden.

Answer 1

Wie kommst du auf |sin(x)*sin(1/x²)|<=|x|

Es würde aber |sin(x)*sin(1/x2)|<=|sin(x)| genügen.

Denn für x gegen 0 geht sin(x) , wegen der Stetigkeit

der sin-Fkt. bei x=0 auch gegen 0.