Aufgabe:
Bestimme die Lösungen des Gleichungssystems:
x2 + y2 = 41
xy=20
Problem/Ansatz:
Zuerst wollte ich (I) nach x auflösen indem ich -y2 rechne und dann die Wurzel nehme, jedoch komme ich mit dem x dann nicht wirklich weiter, wenn ich dies in xy einsetze.
Ich komme auf komplett komische und nicht reelle Lösungen...
Addiere zunächst das Doppelte der zweiten Gleichung zur ersten. Anschließend subtrahiere das Doppelte der zweiten Gleichung von der ersten und erhalte das neue Gleichungssystem(1) (x + y)2 = 81(2) (x - y)2 = 1.Das liefert die vier leicht zu lösende lineare Gleichungssysteme(3) x + y = ±9(4) x - y = ±1.
Aloha :)
(x−y)2=x2−2xy+y2=(x2+y2)−2⋅xy=41−2⋅20=1 ⟹ x−y=±1(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+y^2)-2\cdot xy=41-2\cdot20=1\implies x-y=\pm1(x−y)2=x2−2xy+y2=(x2+y2)−2⋅xy=41−2⋅20=1⟹x−y=±1Das heißt, xxx und yyy müssen sich um 111 unterscheiden. Wir nennen die kleinere Zahl xxx, dann ist y=x+1y=x+1y=x+1 und es muss gelten:20=!x⋅y=x⋅(x+1)=x2+x ⟹ x2+x−20=0 ⟹ (x+5)(x−4)=020\stackrel!=x\cdot y=x\cdot(x+1)=x^2+x\implies x^2+x-20=0\implies(x+5)(x-4)=020=!x⋅y=x⋅(x+1)=x2+x⟹x2+x−20=0⟹(x+5)(x−4)=0Wir erhalten also x=−5x=-5x=−5 oder x=4x=4x=4 und damit folgende Lösungsmöglichkeiten (x∣y)(x|y)(x∣y):(−5∣−4);(−4∣−5);(4∣5);(5∣4)(-5|-4)\quad;\quad(-4|-5)\quad;\quad(4|5)\quad;\quad(5|4)(−5∣−4);(−4∣−5);(4∣5);(5∣4)
x = 20/y
400/y2+y2=41
400 + y4 = 41 y2
y4-41 y2 + 400 = 0
Subst y2 = z
pq-Formel
EDIT: Stimmt, korrigiert.
Es muss +400 lauten in der letzten Zeile
x2 + y2 = 41 und xy=20
Für y = 0 gibt es keine Lösung, also
x2 + y2 = 41 und x=20/y
==> 400/y2 + y2 = 41
==> 400 + y4 = 41 y2
==> y4 - 41 y2 + 400 = 0
pq-Formel y2 = 41/2 ± 9/2
also y2 = 25 oder y2 = 16
==> y = ±5 oder y=±4
Dazu die passenden x-Werte bestimmen.
x2+y2=41x^2 + y^2 = 41x2+y2=41x∗y=20x*y=20x∗y=20 y=20xy=\frac{20}{x}y=x20 y2=400x2y^2=\frac{400}{x^2}y2=x2400
x2+400x2=41∣∗x2x^2 + \frac{400}{x^2} = 41|*x^2x2+x2400=41∣∗x2
x4+400=41∗x2x^4 + 400 = 41*x^2x4+400=41∗x2
x4−41∗x2=−400x^4 -41*x^2 =-400 x4−41∗x2=−400
(x2−412)2=−400+(412)2=814∣ (x^2 -\frac{41}{2})^2=-400+(\frac{41}{2})^2=\frac{81}{4}|\sqrt{~~} (x2−241)2=−400+(241)2=481∣
1.)x2−412=92x^2 -\frac{41}{2}=\frac{9}{2} x2−241=29
x2=25x^2 =25x2=25
x₁=5x₁=5x₁=5 y₁=205=4y₁=\frac{20}{5}=4y₁=520=4
x₂=−5x₂=-5x₂=−5 y₂=−205=−4y₂=-\frac{20}{5}=-4y₂=−520=−4
2.)x2−412=−92x^2 -\frac{41}{2}=-\frac{9}{2} x2−241=−29
x2=16x^2 =16 x2=16
x₃=4x₃=4x₃=4
x₄=−4x₄=-4x₄=−4
Nun noch die beiden y-Werte ausrechnen.
x²+y²=41
xy=20 → y=20/x
(x+y)²=x²+y²+2xy=41+2•20=81
x+y=±9
x+ 20/x=9 oder x+ 20/x=-9
x²-9x+20=0 oder x²+9x+20=0
x=±4,5±√(20,25-20)=±4,5±0,5
x=-5 oder x=-4 oder x=4 oder x=5
--> Es gibt vier Lösungspaare (x;y) , nämlich
(-5;-4) , (-4;-5) , (4;5) , (5;4).
:-)
Es gibt 16 Lösungen? Erstaunlich!
Ich habe meine ungenaue Antwort editiert.
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