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Aufgabe: Bestimmen Sie die Darstellungmatrix MBB (σ) der Linearen Abbildung ,

σ: ℝ2x2 → ℝ2x2 , σ(A) := A + AT

bezüglich einer geordneten Basis B des ℝ-Vektorraums ℝ2x2 Ihrer Wahl.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir hier nicht sicher. Kann mir jemand helfen :(

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Eine Basis für R2×2\mathbb{R}^{2\times 2}, also den Raum der 2×22\times 2-Matrizen, liefern die Standardmatrizen B=(E11,E12,E21,E22)B=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}). Die haben jeweils nur eine 11 und zwar gerade dort, wo die Indizierung das angibt, also z. B. E11E_{11} ganz oben links: erste Zeile, erste Spalte.

Die Darstellungsmatrix MBB(σ)M_B^B(\sigma) erhält man nun als: MBB(σ)=(Bσ(E11),...,Bσ(E22))M_B^B(\sigma)=(_B\sigma(E_{11}),...,_B\sigma(E_{22})), wobei das B als Index angeben soll, dass es sich um die Koordinantenvektoren bzgl. BB handelt.

Ein Beispiel:

Es gilt:σ(E11)=(1000)+(1000)T=(1000)=(2000)\sigma(E_{11})=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Und weiter:(2000)=2E11+0E12+0E21+0E22Bσ(E11)=(2000)\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=2E_{11}+0\cdot E_{12}+0\cdot E_{21}+0\cdot E_{22} \Rightarrow _B\sigma(E_{11})=\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \\ 0 \end{pmatrix} Das wäre schon der erste Spaltenvektor der Matrix. Siehst du, wie es weiter geht?

Avatar von 28 k

Super , ich denke verstehe jetzt wie es geht. Vielen Dank !!! :)))

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