Berechne D3_1,2,3g(x,y,z), wobei g(x,y,z) = f(xy,x2-z2)

Question

Aufgabe:

Berechne D³_1,2,3g(x,y,z), wobei g(x,y,z) = f(xy,x²-z²). f ist nicht bekannt, aber alle partiellen Ableitungen sind stetig mindestens bis zum 3. Grad.

Problem/Ansatz:

Ich würde gerne dieses Problem durch die Jacobi Matrix lösen, geht das, und wie?

Comments

Was bedeutet denn D³_1,2,3?

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Ableitungen höherer, n-ter Ordnung

In diesem Fall dritter Ordnung zuerst zurdst nach x, dann nach y und dann nach z.

Answer 1

Dann geht es also um die Kettenregel. Wir haben

$$g(x,y,z)=f(p(x,y,z),q(x,y,z)), \quad p(x,y,z)=xy, \quad q(x,y,z)=x^2-z^2$$

Dann ist

$$D_1 g(x,y,z)=\partial_pf(p,q)\partial_xp(x,y,z)+\partial_qf(p,q)\partial_xq(x,y,z)=\partial_pf(p,q)\cdot y+\partial_qf(p,q)\cdot 2x$$

Für die Ableitung \(D_{1,2}g\) wendet man zunächst die Summenregel an, dann die Produktregel. Die Terme mit der Funktion f werden analog zum ersten Schritt bearbeitet.