Gleichung sechsten Grades

Question

Aufgabe:

$\displaystyle x^{6}-2 x^{5}-14 x^{4}+6 x^{3}-63 x^{2}+216 x+1296$

Problem/Ansatz:

Finde die Nullstellen ?Lösen und erklären wie man so eine Aufgabe lösen kann.

Answer 1

x⁶ - 2·x⁵ - 14·x⁴ + 6·x³ - 63·x² + 216·x + 1296 = 0

Zunächst prüft man, ob ganzzahlige Teiler von 1296 zufällig Nullstellen sind. Das ist bei x = 4 und bei x = -3 der Fall. Mit diesen Werten macht man eine Polynomdivision oder das Horner Schema.

(x⁶ - 2·x⁵ - 14·x⁴ + 6·x³ - 63·x² + 216·x + 1296) / (x - 4) = x⁵ + 2·x⁴ - 6·x³ - 18·x² - 135·x - 324

(x⁵ + 2·x⁴ - 6·x³ - 18·x² - 135·x - 324) / (x + 3) = x⁴ - x³ - 3·x² - 9·x - 108

Jetzt prüft man nochmals, ob x = 4 und x = -3 Nullstellen sind. Und da sie das sind, macht man erneut eine Polynomdivision.

(x⁴ - x³ - 3·x² - 9·x - 108) / (x - 4) = x³ + 3·x² + 9·x + 27

(x³ + 3·x² + 9·x + 27) / (x + 3) = x² + 9

Der Restterm x² + 9 hat jetzt nur noch komplexe Nullstellen.

Ist das so verständlich geworden? Wenn nicht, frag gerne nochmals nach.

Nullstellen sind also

x = -3 (2-fach) ; x = 4 (2-fach) ; x = ± 3·i (komplexe Nullstellen nur bei Bedarf)

Answer 2

Polynomdivision, 1. Nullstelle raten = ganzzahliger Teiler von 1296

geeignete Teiler sind -3, 4, -9

https://www.wolframalpha.com/input?i=factorise+x%5E6-2+x%5E5-14+x%5E…

Comments

Mit x = -9 war dir ein klitzekleiner Fehler unterlaufen. Ist aber nicht so tragisch. Spätestens bei einer versuchten Polynomdivision merkt man, dass das nicht funktioniert.

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Danke, ich habe das Quadrat überlesen.

Die anderen Nullstellen sind komplex und sind wohl nicht gesucht.