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Aufgabe:

Warum stimmen Aussagen über Außen- Innenwinkelsummen bei Polygonen mit Selbstschnitten nicht überein?

Innenwinkelsumme = (n-2)*180°

Außenwinkelsumme = 360°

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre schlichtweg gewesen, dass durch die Selbstschnitte zusätzliche Winkel entstehen, wodurch die IWS und AWS verfälscht werden, es ist aber nahezu unmöglich, dass die Lösung so kurz und trivial ist, vielleicht hat ja jemand einen anderen Ansatz für mich :)

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Definiere 'Innenwinkel' und definiere 'Außenwinkel' (bei Polygonen mit Selbstschnitten) und anschließend kann man Deine Frage auch eindeutig beantworten!

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obige Polygone sollen identisch sein, bis auf die Position von \(D\).

Was ist der rot markierte Winkel?

Das ist ja gerade das Problem, was ich habe. Ich gehe davon aus, dass es von einem Außenwinkel zu einem Innenwinkel wird, gehe aber auch davon aus, dass im rechten Fall ein komplett neues Dreieck mit drei neuen Innenwinkeln entsteht. Also habe ich sozusagen 3 Dreiecke mit jeweils 180° Innenwinkel, gesamt also 540°. Die Formel für die Innenwinkelsumme wäre jedoch entweder (7-2)*180 oder (9-2)*180, je nachdem, ob ich die Ecken bei den Schnittpunkten einzeln oder doppelt zähle, wo ich aber auch nicht weiß, was der richtige Weg ist, allerdings ergibt beides ja mehr als die theoretischen 540°.

Also wäre mein Ansatz, dass bei Schnitten neue Polygone entstehen, die ich zusammenaddieren muss, was immer kleiner sein wird, als wenn ich die Formel (n-2)*180° anwende, mit allen Ecken des gesamten Polygons.

Ein anderes Problem?

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