Äquivalenz zweier Matrizen zeigen

Question

Gib an, ob die folgenden beiden Matrizen A und B (untereinander) mit Elementen aus GF(4) äquivalent sind oder nicht:

1	1	1
1	a	0
1	b	0

1	a	b
0	b	b
1	1	0

Da man den Rang nicht bestimmen kann, denke ich mir, dass man es anhand Reflexivität,Symmetrie bzw. Transitivität zeigen kann. Reflexivität zeige ich halt mit der Einheitsmatrix. Aber bei Symmetrie muss ich bei R(A,B) ja B= Q*A*P bzw. für R(B,A) ja A=Q^-1*B*P^-1 zeigen, aber wie finde ich diese Matrizen P,Q? Gleiche Frage bei der Transitivität

b) Zerlege die Menge Z_2^(2x2) in Klassen äquivalenter Matrizen

Hier wüsste ich nicht wirklich einen Ansatz. Könnte mir jemand helfen?

Comments

Warum sollte man den Rang nicht bestimmen können?
Nach meinen Berechnungen gilt \(\,\operatorname{rg}\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&0\\1&b&0\end{pmatrix}=3\) und \(\,\operatorname{rg}\begin{pmatrix}1&a&b\\0&b&b\\1&1&0\end{pmatrix}=2\).

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War a≠b vorausgesetzt ?

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Vielleicht ist GF(4) als \(\{0,1,a,b\}\)
gegeben mit speziellen Regeln, z.B. \(b=1+a\) und
\(a^2=b\) ...