Zeigen Sie, dass g genau einen Fixpunkt hat.

Question

Aufgabe:

Es sei $g:[\alpha, \beta] \longrightarrow[\alpha, \beta]$ eine lipschitzstetige Funktion mit Lipschitzkonstante $L<1$.
Zeigen Sie, dass $g$ genau einen Fixpunkt hat. Zeigen Sie außerdem, dass die Folge $\left(x_{n}\right)$ mit $x_{0} \in[\alpha, \beta]$ beliebig und $x_{n+1}:=g\left(x_{n}\right)$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gegen den Fixpunkt konvergiert.

Wäre lieb wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Zur Eindeutigkeit des Fixpunktes:

Angenommen es gäbe zwei verschiedene Fixpunkte $x_0$ und $y_0$,

also $g(x_0)=x_0$ und $g(y_0)=y_0$.

Dann liefert die Lipschitzbedingung mit $L<1$:

$|x_0-y_0|=|g(x_0)-g(y_0)|< |x_0-y_0|$,

was nicht möglich ist.

Comments

Danke für die Hilfe jedoch weiß ich nicht, wie ich zeigen kann, dass das nicht möglich ist und was ist gemeint mit  xn +1 ?

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jedoch weiß ich nicht, wie ich zeigen kann, dass das nicht möglich ist

Das ist doch selbstverständlich, dass für jede reelle Zahl a die

Ungleichung a < a unmöglich ist.

was ist gemeint mit xn +1 ?

Das steht doch in der Aufgabe:

$x_{n+1}$ ist definiert als $g(x_n)$.

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Ach stimmt hab falsch gedacht Dankeschön. Wie soll ich denn zeigen dass xn+1 gegen den fix. Punkt konvergiert?