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\( \varphi: \mathbb{F}_{3}^{3} \rightarrow \mathbb{F}_{3}^{3}, \quad \varphi(v)=A \cdot v \quad \text { mit } \quad A=\left[\begin{array}{lll} {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[1]_{3}} & {[2]_{3}} & {[1]_{3}} \\ {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[2]_{3}} \end{array}\right] \in \mathbb{F}_{3}^{3 \times 3} . \)


(a) Bestimmen Sie den Kern der Matrix \( A \).


(b) Bestimmen Sie alle Lösungen \( v \in \mathbb{F}_{3}^{3} \) der Gleichung


\( \varphi(v)=\left(\begin{array}{l} {[0]_{3}} \\ {[1]_{3}} \\ {[2]_{3}} \end{array}\right) . \)


Verwenden Sie dabei ausschließlich die kanonischen Repräsentanten der Restklassen. Sie dürfen abkürzend für \( z \in\{0,1,2\} \) anstatt \( [z]_{3} \) auch einfach \( z \) schreiben.

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\( \left[\begin{array}{lll} {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[1]_{3}} & {[2]_{3}} & {[1]_{3}} \\ {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[2]_{3}} \end{array}\right] \)  2. Zeile plus dritte

\( \left[\begin{array}{lll} {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[0]_{3}} & {[0]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[2]_{3}} \end{array}\right] \)  3. Zeile minus erste

\( \left[\begin{array}{lll} {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[0]_{3}} & {[0]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[0]_{3}} & {[0]_{3}} & {[2]_{3}} \end{array}\right] \) 

==> \( \left(\begin{array}{l} {[x]_{3}} \\ {[y]_{3}} \\ {[z]_{3}} \end{array}\right) \in  Kern(A) \)

   Also   z=0   und y beliebig und 2x+y=0 also x=y

   Für alle   \( y \in \mathbb{F}_{3}\)  ist    \( \left(\begin{array}{l} {[y]_{3}} \\ {[y]_{3}} \\ {[0]_{3}} \end{array}\right) = y\cdot  \left(\begin{array}{l} {[1]_{3}} \\ {[1]_{3}} \\ {[0]_{3}} \end{array}\right)   \in Kern(A) \)

Also dim = 1.

\( \varphi(v)=\left(\begin{array}{l} {[0]_{3}} \\ {[1]_{3}} \\ {[2]_{3}} \end{array}\right) . \)

Gilt offenbar immer für \( v=\left(\begin{array}{l} {[x]_{3}} \\ {[x]_{3}} \\ {[1]_{3}} \end{array}\right) . \)

Avatar von 287 k 🚀

Danke. Darf ich fragen, warum y beliebig ist?

Klar, aus der letzten Zeile folgt z=0. Dann kämme die

2. Zeile für die Bestimmung von y dran, aber

0x+0y+0z = 0   stimmt immer, also y beliebig.

vielen Dank. Ich habe noch eine Frage, wie du auf die Lösung zu b) gekommen bist. Ich kann das noch nicht so ganz nachvollziehen

Bei b) war mir aufgefallen, dass \( \left(\begin{array}{l} {[0]_{3}} \\ {[1]_{3}} \\ {[2]_{3}} \end{array}\right)  \) genau die 3. Spalte

der Matrix ist. Und die ersten beiden Spalten haben die Summe

\( \left(\begin{array}{l} {[0]_{3}} \\ {[0]_{3}} \\ {[0]_{3}} \end{array}\right)  \)

aber wie kommt man dann auf (x, x, 1) ? Sorry, dass ich nerve

Deine letzter Schritt endet bei

\(\small Ab \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&2&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

das LGS Ax = b abgeleitet heißt dann

\(Lxi \, :=  \, \left\{  \left\{ x1 = -2 \; x2, x2 = x2, x3 = 1 \right\}  \right\} \)

\([Lxi]_2 \, :=  \, \left\{  \left\{ x1 = 1 \; x2, x2 = x2, x3 = 1 \right\}  \right\} \)

x2=t unbestimmt

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