Volumen in Kugelkoordinaten

Question

Aufgabe:

Mithilfe von Kugelkoordinaten soll ich das Volumen folgender Menge berechnen: $$M=\left\{(x,y,z) \in \mathbb{R} , x^2+y^2+z^2 \leq 4, z \geq 0, x^2+y^2 \leq z^2 \right\}$$

Es geht also darum die Menge M in Kugelkoordinaten umzuschreiben.

Lösung:

M= {Ψ(r, ϕ, ϑ) | r ∈ [0, 2], ϕ ∈ [0, 2π], ϑ ∈ [0,π/4]}.

Ich erkenne, dass es um eine Nordhalbkugel mit Radius 2 geht. Aber wie kann man erkennen, dass ϑ ∈ [0,π/4]? Und was sagt mir $$x^2+y^2 \leq z^2$$?

Danke für die Hilfe:)

Answer 1

Aloha :)

Zur Beschreibung der Menge$$M=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\;\big|\;\red{x^2+y^2+z^2\le4}\;\land\;\green{z\ge0}\,\land\;\blue{x^2+y^2\le z^2}\}$$in Kugelkoordinaten$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\;;\;r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]$$müssen die Intervalle für die Variablen \((r;\varphi;\vartheta)\) so eingeschränkt werden, dass sie alle 3 Bedingungen, die an Punkte der Menge \(M\) gestellt werden, erfüllen.

Die rote Bedingung schränkt uns den Radius \(r\) ein:$$\red{x^2+y^2+z^2\le4}\implies r^2\le4\implies r\le2\implies \red{r\in[0;2]}$$

Für \(r=0\) ist die grüne Bedingung \(\green{z\ge0}\) erfüllt. Für \(r>0\) schränkt uns die grüne Bedingung aber den Azimuth-Winkel \(\vartheta\) ein:$$\green{z\ge0}\implies r\cos\vartheta\ge0\stackrel{(r>0)}{\implies}\cos\vartheta\ge0\implies\green{\vartheta\in\left[0;\frac\pi2\right]}$$

Für \(r=0\) ist auch die blaue Bedingung \(\blue{x^2+y^2\le z^2}\) erfüllt. Für \(r>0\) schränkt sie uns den Azimuth-Winkel \(\vartheta\) aber weiter ein:$$\blue{x^2+y^2\le z^2}\implies r^2\sin^2\vartheta\le r^2\cos^2\vartheta\stackrel{(r>0)}{\implies}\sin^2\vartheta\le\cos^2\vartheta\stackrel{(\div\cos^2\vartheta)}{\implies}\tan^2\vartheta\le1$$$$\phantom{\blue{x^2+y^2\le z^2}}\!\!\stackrel{(\green{\vartheta\in[0;\frac\pi2]})}{\implies}\tan\vartheta\le1\stackrel{(\green{\vartheta\in[0;\frac\pi2]})}{\implies}\blue{\vartheta\in\left[0;\frac\pi4\right]}$$

Damit sind die Integrations-Intervalle klar und zusammen mit dem Volumenelement$$dV=r^2\sin\vartheta\;dr\;d\varphi\;d\vartheta$$in Kugelkoordinaten kannst du das Volumen-Integral formulieren:$$V=\int\limits_MdV=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/4}r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta=\int\limits_{r=0}^2r^2\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/4}\sin\vartheta\,d\vartheta$$

Die Integrale sind alle sehr einfach zu berechnen. Zur Kontrolle:$$V=\frac83\cdot2\pi\cdot\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac83\pi(2-\sqrt2)$$

Comments

Danke, die Antwort hat mir wirklich sehr weitergeholfen. Nur eine Frage zum Dreifach-Integral. Warum darf ich dieses auseinanderziehen? Ich kenne nur den Satz von Fubini, der mit erlaubt die Integrationsreihenfolge zu ändern.

Danke für die Hilfe.

---

Auf die Integrationsreihenfolge kommt es immer dann an, wenn die Intervallgrenzen für eine Integrationsvariable eine andere Integrationsvariable enthalten, z.B.$$I=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{3r}\cdots dr\,d\varphi$$Hier muss zuerst über \(d\varphi\) bei festgehaltenem \(r\) integriert werden. Durch Einsetzen der Integrationgrenzen für \(\varphi\) kommt dann das \(r\) aus der oberen Grenze in den Integranden für \(dr\).

In dem Integral aus der Aufgabenstellung sind jedoch alle Integrationsgrenzen unabhängig von den anderen Integrationsvariablen. Daher kannst du die Integrationsreihenfolge frei wählen und sogar, wie angegeben, die Integrale faktorisieren.

---

Hab eben fast die gleiche Aufgabe gehabt, aber per Cavalieri gelöst und habe etwas anderes rausbekommen.

Es sieht so aus, dass dein \(\sin \theta\) plötzlich zum \(\sin^2 \theta\) wird.

---

Danke dir, meine Frau hatte mich gehetzt, sie wollte zum Tanzen ;)