Steckbriefaufgabe : Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 3. Grades

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die im Punkt A(1| 4) eine Stelle mit waagerechter Tangente und in B(0 | 2) einen Wendepunkt hat.
Weisen Sie anschließend rechnerisch nach, ob es sich bei A um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Problem/Ansatz:

Ich bin komplett lost um ehrlich zu sein . Grundsätzlich habe ich ja 2 Infos gegeben: - f(1)=4 & f(0)=2 . Aber wie mache ich dann weiter??? Ich denke hier soll mit linearen Gleichungssystemen gearbeitet werden

Answer 1

eine Stelle mit waagerechter Tangente

Das heißt die Steigung ist dort 0. Also f'(1) = 0.

einen Wendepunkt

Das heißt die zweite Ableitung ist dort 0. Also f''(0) = 0.

Answer 2

Grundsätzlich habe ich ja 2 Infos gegeben:

Du hast 4 Informationen gegeben!

im Punkt A(1| 4) eine Stelle mit waagerechter Tangente

heißt auch: f '(1)=0.

in B(0 | 2) einen Wendepunkt

heißt auch: f ''(0)=0.

Answer 3

Hallo,

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f(0)=2 = d

f(1)=4=a+b+c+2 → a+b+c=2

Nun brauchst du noch die beiden Ableitungen und benutzt die Bedingungen aus den anderen Antworten.

f'(x)= ...

f'(1)=0= ...

f''(x)= 6ax+b

f''(0)=0=b

Es bleiben zwei Gleichungen, mit denen du a und c berechnest.

:-)

Answer 4

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Gesuchte ist eine ganzrationale Funktion 3-ten Grades:$$\pink{f(x)=ax^3+bx^2+cx+d}$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)=6ax+2b$$

Im Punkt $B(0|2)$ hat sie einen Wendepunkt. Daraus folgt$$(c)\quad2=f(0)=d\implies\pink{d=2}$$$$(d)\quad0=f''(0)=2b\implies\pink{b=0}$$

Im Punkt $A(1|4)$ hat sie eine waagerechte Tangente. Daraus folgt$$(a)\quad 4=f(1)=a+\pink b+c+\pink d=a+c+2\implies \green{a+c=2}$$$$(b)\quad0=f'(1)=3a+2\pink b+c=3a+c=2a+(\green{a+c})=2a+\green2\implies\pink{a=-1}$$

Aus $\green{a+c=2}$ und $\pink{a=-1}$ folgt $\pink{c=3}$ und wir haben die Gesuchte gefunden:$$\pink{f(x)=-x^3+3x+2}$$

Da bei $A(1|4)$ eine waagerechte Tangente vorliegt, ist dieser Punkt ein Kandidat für ein Extremum. Wir prüfen den Kandidaten, indem wir die zweite Ableitung an diesem Punkt bestimmen:$$f''(1)=\left(-x^3+3x+2\right)''_{x=1}=\left(-3x^2+3\right)'_{x=1}=\left(-6x\right)_{x=1}=-6<0\implies\text{Maximum}$$Am Punkt $A(1|4)$ liegt also ein lokales Maximum vor.

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f₁(x) = -x³+3x+2P(1|4)P(0|2)Zoom: x(-4…4) y(-6…6)

Answer 5

"Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die im Punkt $A(1| 4)$ eine Stelle mit waagerechter Tangente und in $B(0 | 2)$ einen Wendepunkt hat.
Weisen Sie anschließend rechnerisch nach, ob es sich bei A um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt."

Ich verschiebe den Graphen von $f(x)$ um 4 Einheiten nach unten:

$A(1| 4)$→$A´(1| 0)$ waagerechte Tangente  

$B(0 | 2)$→$B´(0 | -2)$ Wendepunkt

$f(x)=a*[(x-1)^2*(x-N)]$

$f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=-2$     →  $a=\frac{2}{N}$

$f(x)=\frac{2}{N}*[(x-1)^2*(x-N)]$

$f´(x)=\frac{2}{N}*[(2x-2)*(x-N)+(x-1)^2]$

$f´´(x)=\frac{2}{N}*[(2)*(x-N)+(2x-2)+(2x-2)]$  →  $f´´(x)=\frac{4}{N}*[(2x-2N)+(4x-4)]$

$f´´(0)=\frac{2}{N}*[(-2N)+(0-4)]=0$    →$N=-2$   →  $a=-1$

$f(x)=-1*[(x-1)^2*(x+2)]$ und nun wieder 4 Einheiten nach oben:

$p(x)=-1*[(x-1)^2*(x+2)]+4$

2 Nachweise: $A(1| 4)$ ob Hoch oder Tiefpunkt:

1.)$p(x)=-1*[(x-1)^2*(x+2)]+4$

$p´(x)=-1*[(2x-2)*(x+2)+(x-1)^2]$

$p´´(x)=-1*[2*(x+2)+(2x-2)+(2x-2)]$

$p´´(1)=-1*[2*(1+2)+(2*1-2)+(2*1-2)]$

$p´´(1)=-1*[6+0-1]$      $-5<0$  Maximum

2.)Extremwert bei:$A(1| 4)$   und Wendestelle bei: $B(0 | 2)$

Der Wendepunkt liegt 2 Einheiten tiefer als der Extremwert. Somit ist $A(1| 4)$ ein lokales Maximum.

Answer 6

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 3. Grades,

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

die im Punkt A(1| 4) eine Stelle mit waagerechter Tangente

f(1) = 4
f'(1) = 0

und in B(0 | 2) einen Wendepunkt hat.

f(0) = 2
f''(0) = 0

Weisen Sie anschließend rechnerisch nach, ob es sich bei A um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Nutze zur Hilfe und Selbstkontrolle die Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Gleichungssystem

a + b + c + d = 4
3a + 2b + c = 0
d = 2
2b = 0

Errechnete Funktion

f(x) = -x³ + 3·x + 2

Man erkennt, dass der Punkt A ein Hochpunkt ist.