Ganzrationale Funktion dritten Grades mit H (2/0) und W (0/-3)

Question

Aufgabe: Gegeben sei eine ganzrationale Funktion f dritten Grades mit den in Abb. E.6 ange-
gebenen Eigenschaften (H bedeutet Hochpunkt und W bedeutet Wendepunkt).

a) Berechnen Sie den Funktionsterm der Funktion f.

b) Im schraffierten Bereich von Abb. E.6 wird ein Dreieck so einbeschrieben, dass eine Seite die Gleichung y=-3 hat, die zweite Seite parallel zur y-Achse verläuft und die dritte Seite den Schnittpunkt der zweiten Seite mit dem Graphen und den Wendepunkt miteinander verbindet.
Berechnen Sie den x-Wert, bei dem die zweite Dreiecksseite liegen muss, wenn der Flächeninhalt des Dreiecks maximal werden soll.

Answer 1

so wie die Funktion beschrieben ist, lassen sich ihre Parameter ohne großen Aufwand berechnen. Aus der Vorgabe, dass bei $x=2$ ein Hochpunkt und damit eine doppelte Nullstelle vorhanden ist, folgt, dass$$f(x) = a(x-x_3)(x-2)^2$$sein muss. Wobei $x_3$ die dritte Nullstelle ist und $a$ ein Faktor.

Da der Wendepunkt bei $x=0$ liegt, und ein kubisches Polynom immer punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt ist, muss die Form der Funktion auch $$f(x) = ax^3 + cx -3$$ entsprechen. Damit ist sie punktsymmetrisch zu $W(0|\,-3)$. Das gilt natürlich beides gleichermaßen, d.h. wenn man den ersten Term ausmultipliziert muss der Faktor $b$ vor dem quadratsichen Glied identisch 0 sein. Also gilt$$bx^2 = (-4 - x_3)x^2 = 0 \implies x_3 = -4$$und aus $f(0)=-3$ kommt man nach Einsetzen in die erste Form zu $$\begin{aligned}f(0) = a(0-(-4))(0-2)^2 &= -3 \\ a \cdot 4 \cdot 4 &= -3 \\ \implies a &= - \frac 3{16} \end{aligned}$$Somit lautet die Funktion $$f(x)=-\frac 3{16}(x+4)(x-2)^2 = \frac 3{16}\left( -x^3 +12x \right) -3$$

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f₁(x) = -3·(x+4)·(x-2)²/16f₂(x) = -3Zoom: x(-6…6) y(-7…2)x = -2,45f₃(x) = (3·(-2,45+4)·(-2,45-2)²/16-3)x/(2,45)-3

Der blaue Graph zeigt den Verlauf der Funktion $f(x)$ und das beschriebene Dreieck wird durch die drei Geraden eingeschlossen.

Wie schon darauf hingewiesen wurde, benötigt man aber die Paramater der Funktion zur Lösung des Teils b) nicht unbedingt. Ich beginne mit der zweiten Form von oben und leite sie ab$$f(x)=ax^3+cx-3 \\ f'(x)= 3ax^2+c \implies x_H = \pm \sqrt{\frac{-c}{3a}}$$wodurch man die X-Koordinaten der beiden Extrempunkte erhält. Das gesuchte Dreieck ist ein rechtwinkliges, man kann also seine Fläche aus dem Produkt der beiden Katheten berechnen. Die waagerechte Kathete hat den Werte $-x$ und die senkrechte Kathete den Wert $-3-f(x)$. Also ist die Fläche des Dreiecks und seine Ableitung nach $x$$$F_{\triangle}(x) = \frac 12 (-x)(-3-f(x)) = \frac 12\left(ax^4+cx^2\right) \\ F'_{\triangle}(x) = 2ax^3+cx$$Mit $F'_{\triangle}(x_{\max}) = 0$ bekommt man dann$$(2ax_{\max}^2+c)x_{max} = 0 \implies x_{\max} = -\sqrt{\frac{-c}{2a}}$$Der Wert ist negativ, da sich das Dreieck links von der Y-Achse befindet. Vergleicht man diesen Wert mit der Lage der Hochpunktes, so sieht man dass$$\begin{aligned}x_{\max} &= -\sqrt{\frac{-c}{2a}} = - \sqrt{\frac 32 \cdot \frac{-c}{3a}} = -\sqrt{\frac 32} \cdot x_H \\ &= -\sqrt{\frac 32} \cdot 2 =-\sqrt 6 \end{aligned}$$

Comments

Man kann sich etwas Schreibarbeit sparen, indem man die ganze Situation um 3 Einheiten nach oben verschiebt und (falls man Minuszeichen nicht so mögen sollte) die Punktsymmetrie (dann zum Nullpunkt) ausnutzt.

Answer 2

a)

Wenn man mal Vereinfachungen außer acht lässt kann man solche Steckbriefaufgaben alle nach dem gleichen Schema lösen.

1. Bedingungen in mathematischer Kurzform notieren.

2. Vollständiges Lineares Gleichungssystem aufstellen.

3. Gleichungssystem Lösen

4. Lösung notieren und ggf. Prüfen.

Bei der Lösung helfen könnte http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

b)

Die Extremwertaufgabe mit der Zielfunktion

A(x) = 1/2·(-x)·((-3) - (- 0.1875·x³ + 2.25·x - 3)) = 9/8·x² - 3/32·x⁴
Ist dafür zu lösen

A'(x) = 9/4·x - 3/8·x³ = 3/8·x·(6 - x²) = 0 → x = -√6 (∨ x = 0 ∨ x = √6)

Answer 3

Der Ansatz f(x)= ax³+bx²+cx+d mit f '(x)=3ax²+2bx+c und f ''(x)=6ax+2b führt auf das System

0=8a+4b+2c+d

d=-3

0=12a+4b+c

0=2b

das es zu lösen gilt.

Comments

das es zu lösen gilt.

Das ist doch überhaupt nicht erforderlich.

Für die Lösung ist lediglich die x-Koordinate x_1 des Hochpunktes wichtig (und die Tatsache, dass der Wendepunkt auf der y-Achse liegt), denn der gesuchte x-Wert ist x_max = -x_1*√1,5  und da x_1 = 2 ist, ergibt sich  x_max = -√6.
Alle anderen Angaben dienen nur der Verwirrung.

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Die Antwort bezieht sich wohl auf Aufgabenteil a).

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Stimmt, hatte ich übersehen.

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Stimmt, hatte ich übersehen.

.. dann hast Du auch übersehen, dass Dein Einwand oben auch für den Teil a) gilt. $f(x)$ läst sich hier aus der Lage des Wende- und Hochpunktes mit einfachen Gleichungen mit jeweils einer Unbekannten bestimmen ohne ein Gleichungssystem lösen zu müssen. ;-)

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Für Teil a. sind aber im Gegensatz zu Teil b. auch die jeweiligen y-Werte erforderlich.

Answer 4

H ( 2 | 0 )
W ( 0 | -3 )

f ( 2 ) = 0
f ' ( 2 ) = 0
f ( 0 ) = -3
f '' ( 0 ) = 0

f ( x ) = -0.1875 * x³ + 2.25 * x - 3

Soll bei b.) das Dreieck so aussehen ?

Comments

Nein, denn "... und die dritte Seite den Schnittpunkt der zweiten Seite mit dem Graphen und den Wendepunkt miteinander verbindet.".

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Das Dreieck sieht wohl so aus

Seite 2 = abs (f ( x ) + 3)
Seite 1 = abs(x)
A = ( Seite 2 * Seite 1 ) / 2
Berechnen
A ´ = ...
Ableitung zu null setzen und x berechnen
x = 2.95
Die Lösung läßt sich wohl nur mit dem Newton´schen
Näherungsverfahren berechnen.

Bin gern weiter behilflich.

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Die Lösung läßt sich wohl nur mit dem Newton´schen
Näherungsverfahren berechnen.

Die Lösung ergibt sich nach Ziehen einer Quadratwurzel und ist $x_{\max} = -\sqrt 6$ genau wie hj schon geschrieben hat.

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Hallo Werner,

ich habe mein Ergebnis nochmals überprüft
mein Ergebnis x = -2.95  => A = 7.12
x = -√6 = -2.45 ergibt  => A = 7.05

Was ist richtig ?

mfg Georg

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In meiner Antwort war ein Rechenfehler.
x = 2.45 ist richtig.

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In meiner Antwort war ein Rechenfehler.
x = 2.45 ist richtig.

Schau nochmals genau hin was Werner-Salomon geschrieben hatte.

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Hallo coach,

fang bitte nicht an dich auch in kryptischen
Einzeilern ausdrücken. Das kostet mich nur mehr
Arbeit.
Benenne bitte das auf was du hinweisen möchtest
konkreter.

mfg Georg

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Offensichtlich hast du ein Minus vergessen oder nicht ?

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Sehe ich nicht ganz so eng.
Hoffentlich haben die Antworten dem
Fragesteller weitergeholfen.

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Ich auch nicht. Würde nur dazu führen dass ein Punkt abgezogen wird.

Ich sage meinen Schülern immer es ist nicht ganz so ein Unterschied ob du jetzt 9 Euro oder 10 Euro als Ergebnis hast. Hast du aber statt 9 Euro plötzlich minus 9 Euro solltest du dir Gedanken machen. Du wärst ja auch enttäuscht, wenn du plötzlich nicht mehr Taschengeld bekommst sondern abgeben musst.

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Hoffentlich haben die Antworten dem Fragesteller weitergeholfen.

... wäre ja schon schön, wenn der Fragesteller sich wieder meldet und uns seine Eindrücke vermittelt! ;-)