Konvergiert die Taylorreihe gegen ihre Funktion

Question

Aufgabe:

eine Funktion k von ℝ nach ℝ stetig und eine Funktion l auch von ℝ nach ℝ unendlich oft diff.bar sind gegeben

Außerdem gilt für alle x aus ℝ und n aus ℕ : ∣ l^(n)(x) ∣ ≤ k(x)

Zeige: Die Taylorreihe T_l,0(x) ist für jedes x konvergent und die Taylorreihe konvergiert gegen die Funktion

Problem/Ansatz:

über das Restglied welches gegen 0 konvergiert

Answer 1

Hallo

die Taylorreihe um x=0 für die funktion f(x)=e-1/x² für x≠0 und f(x)=0 für x=0 entspricht allen Voraussetzungen , aber die Taylorreihe T(x)=0 konvergiert nicht gegen f(x).

Gruß lul

Comments

Also stimmt die Aussage nicht?

---

entspricht allen Voraussetzungen

zeig mal. Besonders das k würde mich interessieren.

---

Dann schreib doch mal Eure Formulierung für das Restglied hierhin.

---

f^(n+1)(c)/(n+1)!*(x-xo)^(n+1)

Answer 2

Wir haben also eine Abschätzung für das n-te Taylorpolynom für f mit Entwicklungspunkt $x_0$:

$$T_n(x)-f(x)| \leq R_n(x) \text{ mit } R_n(x)=f^{(n+1)}(c)\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$$

mit eine Zwischenstelle c. Wir zeigen, dass das Restglied für jede x gegen 0 geht: Es existiert ein $m \in \N$ mit

$$\frac{|x-x_0|}{n} \leq 0.5 \text{ für }n\geq m$$

Dann gilt für $n>m$:

$$|R_n(x)| \leq \left|k(x)\frac{(x-x_0)^m}{m!} \right| 0.5^{n-m}$$