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Hallo :)

Ich möchte wieder eine Aufgabe zu ganzrationalen Funktionen lösen:

fa(x)=x³-ax²

ga(x)=(1/a)x(x-a)

a∈R/(0)

a)Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen allgemein.

b)Für welche Werte von a gibt es nur zwei gemeinsame Punkte

So, meine erste Frage: a darf alle Werte annehmen, außer 0. In der Funktion ga(x) steht a im Nenner, muss ich jetzt überhaupt Schnittpunkte berechnen oder ist das eine Fake-Aufgabe? Wenn ja ich bin grad nicht in der Lage g(x) aufzulösen. Das 1/a, dass ich eingeklammert habe, ist eigentlich ein Bruch in der Funktion, der ohne Vorzeichen an das x angehängt ist und das wiederum ohne Vorzeichen auf die Klammer, somit alles Produkte. Aber mich irritiert, was ich jetzt zuerst machen muss. Das x in die Klammer reinmultiplizieren oder etwas anderes?

Danke im Voraus!

LG

Simon
Gefragt von
Ich will natürlich nur die Ansätze wissen und keine vorgerechnete Lösung...

ga(x)=(1/a)x(x-a)

Ist das vielleicht ein mal zwischen den Klammern ?

ga ( x ) = ( 1/a ) * ( x-a )

mfg Georg

Nein, das soll ein x sein ;)

1 Antwort

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Hi Simon,

was ist denn eine "Fakeaufgabe"?^^


a)

Gleichsetzen und auflösen. Ganz "normal". Ist halt en a dabei.


b)

Du kannst maximal drei Schnittstellen haben (Funktion dritten Grades). Sorge dafür, dass eine doppelt ist ;).


Grüße
Beantwortet von 133 k
Ja, das ist mir schon klar aber a darf ja nicht 0 sein und wenn es doch im Nenner steht, ist es doch o, oder?

Kannst du mal ga(x) auflösen für mich?
Was Dir klar ist und was nicht, weiß ich nicht. Deswegen erwähne ich es :P.


g(x) = 1/a*x*(x-a) = 1/a*(x^2-ax) = x^2/a-x
Hm...

1/a*(x²-ax) leuchtet mir ein, die nächste Zeile nicht.

1/a*x²=x²/a

1/a*-ax=-x

Beider Addieren ergibt x²/a+(-x)

=(x²/a)-x

Oder bin ich völlig irre schon^^?
Da steht doch bei uns das Gleiche?
Bei dir steht:

x²/a-x

Bei mir steht:

(x²/a)-x

Ich interpretiere das so, dass -x noch unter den Bruchstruch gehört.

Ist das wirklich so oder ist meins richtig^^?
Es ist beides richtig, da beides mal das gleiche gemeint ist.

Beachte, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt. Es wird also erst dividiert und dann subtrahiert.

Bei x^2/(a-x) wäre beides im Nenner ;).


Mit Klammerschreibweise wie bei Dir ist es natürlich eineindeutig^^.
ok, nun zu den Schnittpunkten:

fa(x)=x³-ax²

ga(x)=(x²/a)-x

x³-ax²=(x²/a)-x / Nun alles mal a, damit der Bruch weg ist.

ax³-a²x²=x²-ax / -x²,+ax

ax³-a²x²-x²+ax=0

ax³-(a²+1)x²+ax=0

Stimmt das so. Ich habe große Zweifel^^.

Falls doch, wie bestimme ich da jetzt Schnittpunkte?

Hmm,

im Eingangspost war es noch fa(x) = ax^3-ax^2

Dann wäre es hier: a^(2)x^3-(a^2+1)x^2+ax = 0

 

Sonst aber richtig. Ich würde nun x ausklammern. Dann Mitternachtsformel (bzw. pq-Formel) anwenden ;).

Habe mich vertippt: Es heißt schon x³-ax²

Super, dass ich wenigstens das ausgerechnet bekomme :)

Vor lauter Polynomdivision habe ich nicht mal erkannt, dass man x ausklammern kann, mann man...^^

Werde gleich mal die Lösung rein stellen!
Ah ok gut. Ich korrigiere das oben.


Das Ausklammern nie aus dem Auge lassen. Das ist oft ein viel einfacherer Weg :).
P.S.: Ohne das a vorneran ist alles einfacher und ich würde überhaupt nochmals von neuem faktorisieren. Wird wahrscheinlich einfacher gehen (kannst aber auch fortfahren wie Du es gerade machst).


Ohne pq-Formel etc:

x^3-ax^2 = 1/a*x*(x-a)   |-rechte Seite

x^2(x-a) - 1/a*x*(x-a) = 0  |Ausklammern von x*(x-a)

x(x-a) * (x - 1/a) = 0


:)
Hm...

Also gleich vorab. Ich rechne mit der abc-Formel

Mein a=a mein b=(-a²-1) mein c=ax

Also mal zur Diskriminante:

b²-4ac=(-a²-1)²-4*a*ax

=a^4+2a²+1-4a²x

=a²(a²+2a-4x)+1

Dann habe ich das a² vorne noch aus der Wurzel radiziert und bin dann auf a²+2a-4x+1 bei der Diskriminante gekommen.

Jetzt blicke ich natürlich gar nicht mehr durch^^.

Erkläre mal, was ich falsch gemacht habe, denn so kann ich ja nicht weiterrechnen.
Vllt liegt das Problem daran, dass Du da noch ein x reingemogelt hast? Das hat hier nichts verloren.


Die abc-Formel ist an sich ja ein schöne Formel. Da sich die Funktion aber ohne den Vorfaktor a vereinfacht hat, würde ich die abc-Formel hier nicht anwenden. Siehe vorigen Kommentar^^.
ok, dann ist meine Diskriminante:

a²+2a-3

Wenn es korrekt ist, wie rechne ich dann jetzt weiter.

Ich muss ja hier die Wurzel ziehen.

Kannst du mal hiervon ausklammern:

ax³-(a²+1)x²+ax=0

Das sind ja schließlich die beiden Funktionen zusammengefasst.

Hier kann ich nur x ausklammern und dann Mitternachtsformel.

Kannst du mal bitte so weiterrechnen?
Nochmal ganz von vorne jetzt :D

ax³-(a²+1)x²+ax=0

x(ax²-(a²+1)x+a=0

a=a

b=(-a²-1)

c=a

D=b²-4ac

=(-a²-1)²-4*a*a

=a^4+2a²+1-4a²

=a^4-2a²+1

Was nun?
Binomische Formel ;).
Meine Nullstellen sind:

x1=0

x2=a

x3=1/a

Stimmt das?
Das ist richtig :).


So, damit hast Du die a) fast erledigt. Bestimme noch die y-Werte.

Die b) kann man fast direkt ablesen^^.
Mus ich bei der b) meine Diskriminante 0 setzen?

Einen gemeinsamem Punkt gibt es ja immer, durch x=o, folgtlich fehlt noch einer.

Ist mein Verdacht richtig?
Das ist richtig aber nicht unbedingt notwendig. Du siehst schon im Beitrag davor wie Deine Nullstellen aussehen. Sorge dafür, dass eine doppelt gezählt wird ;).
Ja, ich habe meine Nullstellen. Aber ich soll ja die a-Werte bestimmen, damit es nur zwei gemeinsame Punkte gibt.

Kannst du mal die Lösung sagen? :)
Kurz zu den Schnittpunkten:

Für x=0 und x=a komme ich auf S(0/0)

Für x=1/a komme ich auf S(0/(1/a³-1/a)

Ist das soweit richtig?

Zur ersten Frage.

Du sagtest:

Meine Nullstellen sind:

x1=0

x2=a

x3=1/a

Wenn a = 0 ist, dann wäre x1 = x2 und damit hätten wir eine Nullstelle zusammengefasst. Das geht allerdings nicht, da x3 sonst nicht definiert ist.

Sehr wohl kann man aber x2 = x3 wählen, in dem man für a = 1 setzt :).

Damit hat man drei gemeinsame Schnittstellen, denn für a = 1 ist der dreifache Schnittpunkt S(0|0).

Für alle anderen a (mit a≠0) hat man zwei Schnittstellen.

 

Zur zweiten Frage: Das ist richtig. Bestimme noch den Schnittpunkt für x = a :).

x=a

S(0/0)

Stimmt das?
Ja das ist richtig ;).

Damit muss meine Antwort von oben modifiziert werden :).

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