Lineares Gleichungssystem erstellen

Question

Aufgabe: Gegeben ist folgende Matrix

$$\begin{array}{rrr} 8 & 0 & 25 |8\\ 12 & 4 & 137/5 |4 \\ 7 & 6 & 13|13\\ \end{array}$$

Auserdem gibt es eine Matrix M und einen Vektor d mit

M=

$$\begin{array}{rrr} 8 & 12 & 7 \\ 0 & 4 & 6 \\ 25 & 137/5 & 13 \\ \end{array}$$

d= $$\begin{array}{rrr} 8 \\ 4 \\ 13 \\ \end{array}$$

1.Geben Sie unter Nutzung von M und d eine Gleichung an, die denselben Sachverhalt darstellt.

2. Ersetzen Sie die komplette letzte Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix durch den Nullvektor und bestimmen Sie nun eine zugehörige Lösungsmenge in Abhängigkeit von t.

3. Ermitteln Sie diejenigen Werte von t, für die das Produkt der ersten und der letzten Vektorkomponente größer ist als die mittlere Komponente.

Problem/Ansatz:

Viellt kann mir ja jemand erstmal bei der 1 helfen.

Comments

Kommt t in einer Matrix oder einem Vektor vor?

Eine Matrix kann man auch so schreiben: $\begin{pmatrix} a & b&c \\ d & e&f \\ g & h & i\end{pmatrix}$.

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Ich sehe nirgendwo ein $t$...

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Hier

2. Ersetzen Sie die komplette letzte Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix durch den Nullvektor und bestimmen Sie nun eine zugehörige Lösungsmenge in Abhängigkeit von t.

und hier

3. Ermitteln Sie diejenigen Werte von t, für die das Produkt der ersten und der letzten Vektorkomponente größer ist als die mittlere Komponente.

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Hallo Roland. Tatsächlich kommt nirgendwo ein t vor. Das kann eigtl nicht sein.

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Frag mal eine Klassenkameradin oder auch deine*n Lehrer*in, wie man den Buchstaben t verstehen soll.

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Alles klar, das werde ich tun. Danke

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2. Ersetzen Sie die komplette letzte Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix durch den Nullvektor und bestimmen Sie nun eine zugehörige Lösungsmenge in Abhängigkeit von t.

Wenn man die letzte Zeile durch Nullen ersetzt, ist das Gleichungssystem unterbestimmt und man erhält unendlich viele Lösungen. Die kann man als Gerade im Raum mit Ortsvektor plus t mal Richtungsvektor notieren. Ich denke mal, das ist gemeint.

Answer 1

Aloha ;)

Eine Bemerkung vom Coach hat mich auf die Idee gebracht, was das $t$ aus der Aufgabenstellung sein könnte. Daher kann ich nun eine sinnvolle Antwort versuchen.

Wir haben gegeben:$$M=\left(\begin{array}{ccc}8 & 12 & 7\\0 & 4 & 6\\25 & \frac{137}{5} & 13\end{array}\right)\quad;\quad\vec d=\left(\begin{array}{c}8\\4\\13\end{array}\right)\quad;\quad\begin{array}{rrr|c}x & y & z & =\\\hline8 & 0 & 25 & 8\\12 & 4 & \frac{137}{5} & 4\\7 & 6 & 13 & 13\end{array}$$

zu 1) Formulierung des Gleichungssystem mittels $M$ und $\vec d$

Wir schreiben das Gleichungssystem in Matrixform und identifizieren die Koeffizientenmatrix als die transponierte Matrix $M^T$:$$\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}8 & 0 & 25\\12 & 4 & \frac{137}{5}\\7 & 6 & 13\end{array}\right)}_{=M^T}\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{=\vec x}=\underbrace{\left(\begin{array}{c}8\\4\\13\end{array}\right)}_{=\vec d}\quad\Longleftrightarrow\quad M^T\cdot\vec x=\vec d$$

zu 2) Die letzte Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix wird zu Null. Dadurch verlieren wir eine Gleichung, haben also nur 2 Gleichungen für 3 Unbekannte. Das bedeutet, wir können eine Unbekannte frei wählen, die beiden anderen Unbekannten sind dann durch die beiden Gleichungen bestimmt. Diese frei wählbare Unbekannte wird das ominöse $t$ aus der Aufgabenstellung sein.

Wir lösen zuerst das modifizierte Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Gauß-Operation}\\\hline8 & 0 & 25 & 8 & \div8\\12 & 4 & \frac{137}{5} & 4 &\div 4 \\0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline\\[-2ex]1 & 0 & \frac{25}{8} & 1 &\\[1ex]3 & 1 & \frac{137}{20} & 1 &-3\cdot\text{Gleichung 1}\\[1ex]0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline\\[-2ex]1 & 0 & \frac{25}{8} & 1 &\Rightarrow x+\frac{25}{8}\,z=1\\[1ex]0 & 1 & -\frac{101}{40} & -2 &\Rightarrow y-\frac{101}{40}\,z=-2\\[1ex]0 & 0 & 0 & 0 &\end{array}$$

Wir stellen die beiden Bedingungsgleichungen um:$$x=1-\frac{25}{8}\,z\quad;\quad y=-2+\frac{101}{40}\,z$$und geben alle Lösungen an:$$\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\frac{25}{8}\,z\\[1ex]-2+\frac{101}{40}\,z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-\frac{25}{8}\\[1ex]\frac{101}{40}\\[1ex]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}+\pink{\frac{z}{40}}\begin{pmatrix}-125\\\phantom+101\\1\end{pmatrix}$$

Die $z$-Koordinate ist frei wählbar und kann alle Werte aus $\mathbb R$ annehmen. Die beiden anderen Koordinaten sind dann eindeutig bestimmt. Da $z\in\mathbb R$ beliebig gewählt werden kann, können wir auch $\pink{\frac{z}{40}}\in\mathbb R$ beliebig wählen und den Parameter $\pink{t\coloneqq\frac{z}{40}}$ einführen:

$$\vec x=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}+\pink t\cdot\begin{pmatrix}-125\\\phantom+101\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\pink t\in\mathbb R$$

zu 3) Hier läuft es auf eine quadratische Unleichung heraus:$$\overbrace{(1-125t)}^{\text{1-te Komp.}}\cdot\overbrace{t}^{\text{3-te Komp.}}>\overbrace{-2+101t}^{\text{2-te Komp.}}\quad\bigg|\text{Produkt ausrechnen}$$$$t-125t^2>-2+101t\quad\big|+2-101t$$$$-100t-125t^2+2>0\quad\big|\div(-125)$$$$t^2+\frac45\,t-\frac{2}{125}<0$$Die beiden Nullstellen der linken Seite finden wir mit der pq-Formel:$$t_{1;2}=-\frac25\pm\sqrt{\frac{4}{25}+\frac{2}{125}}=-\frac25\pm\sqrt{\frac{22}{125}}=-\frac{10}{25}\pm\sqrt{\frac{110}{625}}=-\frac{10}{15}\pm\frac{\sqrt{110}}{25}$$

Die eine Nullstelle ist negativ, die andere ist positiv. Da die Ungleichung für $t=0$ erfüllt ist. liegen alle gesuchten Lösungen für $t$ zwischen diesen beiden Nullstellen:$$t\in\left(\frac{-10-\sqrt{110}}{25}\;;\;\frac{-10+\sqrt{110}}{25}\right)\approx(-0,8196\;;\;0,0195)$$

Answer 2

1. Geben Sie unter Nutzung von M und d eine Gleichung an, die denselben Sachverhalt darstellt.

$$M^T \cdot \vec x = \vec d$$

Comments

Hallo der Mathecoach. Warum stellt es denn denselben Sachverhalt dar, wenn ich die Transponierte benutze?

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Das LGS wird in Matritzenform geschrieben. Du siehst das dort aber nicht die Koeffizientenmatrix M verwendet wird sondern die Transponierte oder siehst du das nicht?