Wie zeigt man, dass das Innere, vom Inneren von M, gleich dem Inneren von M ist?

Question

Aufgabe:

 $\operatorname{int}(\operatorname{int}(M))=\operatorname{int}(M)$

Problem/Ansatz:

$\operatorname{int}(M)=\stackrel{\circ}{M}$ das Innere der Menge $M$ bezeichne;

Wie zeigt man, dass das Innere, vom Inneren von M, gleich dem Inneren von M ist?

Answer 1

Offensichtlich ist $\operatorname{int}(\operatorname{int}(M))\subseteq \operatorname{int}(M)$.

Sei $m\in \operatorname{int}(M)$.

Sei $U \subseteq M$ offen mit $m\in U$. Dann ist $U$ eine offene Umgebung von $m'$ für jedes $m'\in U$. Also ist $m'\in \operatorname{int}(M)$ für jedes $m'\in U$ und somit $U\subseteq \operatorname{int}(M)$.

Weil es in $\operatorname{int}(M)$ eine offene Umgebung um $m$ gibt, ist $m\in \operatorname{int}(\operatorname{int}(M))$. Also ist $\operatorname{int}(M)\subseteq \operatorname{int}(\operatorname{int}(M))$

Comments

Herzlichsten Dank ☺

Answer 2

Das Innere einer beliebigen Menge ist offen.

Das Innere einer offenen Menge M ist gleich dieser Menge M.

Daraus ergibt sich auch die behauptete Eigenschaft.

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Topologie:_Inneres,_Abschl…