Aufgabe:
Beweisen Sie fur die angegebenen Folgen die Konvergenz oder Divergenz und ¨bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert.
Problem/Ansatz:
Bei n!/n5 weiß ich nicht wie ich den Grenzwert berechnen soll. Mir fehlt der Ansatz dafür. Kann mir jemand helfen?
Ich schreibe an=n!n5a_n = \frac{n!}{n^5} an=n5n!. Nun kannst du zum Beispiel den Quotienten betrachten:
an+1an=(n+1)!⋅n5n!⋅(n+1)5=(n+1)(1−1n+1)5\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!\cdot n^5}{n!\cdot (n+1)^5}= (n+1)\left(1-\frac 1{n+1}\right)^5anan+1=n!⋅(n+1)5(n+1)!⋅n5=(n+1)(1−n+11)5≥n+125≥n≥632\geq \frac{n+1}{2^5}\stackrel{n\geq 63}{\geq}2≥25n+1≥n≥632
Das heißt, ab n≥63n\geq 63n≥63 ist an+1≥2ana_{n+1} \geq 2a_nan+1≥2an. Also wächst ana_nan unbeschränkt und limn→∞an=∞\lim_{n\to \infty}a_n = \inftylimn→∞an=∞.
Der Grenzwert für n gegen unendlich ist ∞.
Wir haben dann unendlich / unendlich oder nicht?
n! / n5
Das ist für großes n
= n/n * (n-1)/n * (n-2)/n * (n-3)/n * (n-4)/n * (n-5)*(n-6)*(n-7)*...
Die ersten 5 Brüche gehen gegen 1, der Rest gegen ∞.
n! wächst schneller als n5.
n! steht doch im Zähler .
Danke, es war eine Verwechslung von Z und N.
Ein anderes Problem?
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