Ist die gegebene Funktion (f(x,y)) stetig?

Question

Aufgabe:

$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}0 & (x, y)=(0,0) \\ \frac{2 x y^{3}}{x^{2}+y^{6}} & (x, y) \neq(0,0)\end{array}\right.$

Problem/Ansatz:

Man soll überprüfen, ob die gegebene Funktion stetig ist - Ich bin mir aber nicht ganz sicher, wie ich vorgehen soll!

Ich vermute mal, dass Sie nicht stetig ist, da

1.) Wenn x =y³

$\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2y^{3} y^{3}}{(y^{3})^{2}+y^{6}}=\lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{2y^{6}}{2 y^{6}}=1$

2.) Wenn x=y

$\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2yy^{3}}{y^{2}+y^{6}}= \lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{2y^{4}}{y^{2} +y^{6}}= 0$

Ist meine überlegung soweit richtig und würde das als Begründung bzw. Beweis ausreichen?

Answer 1

Aloha :)

Ja, deine Begründung reicht völlig aus. Es reicht, wenn du einen einzigen Weg zum Punkt $(0|0)$ findest, auf dem sich die Funktion nicht dem Funktionswert $f(0;0)=0$ annähert.

Auf dem von dir gewählten Weg hat die Funktion stets den Wert $1$ und konvergiert dann auch im Grenzwert nach $(0|0)$ gegen $1$.

Den zweiten Weg $(x=y)$ brauchst du schon gar nicht mehr zu betrachten.

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Vielen Dank für deine Hilfe