Question

Wie kann ich folgendes zeigen? (Ohne auszuschreiben und mit Sinus und cosinus)

Text erkannt:

$\begin{array}{l}(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b}) \\ (\vec{a} \times \vec{b})^{2}+(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}\end{array}$

Comments

Da gibt es nichts zu zeigen. Es sind doch nur zwei Terme!

Answer 1

Geht es vielleicht um eine Formel, wie das

in Koordinaten aussieht, dann so

$(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b}) =(\begin{array} {l} 2(b_3a_2-b_2a_3) \\ 2(b_1a_3-b_3a_1) \\ 2(b_2a_1-b_1a_2) \end{array})$

oder eher sowas wie dort:

https://www.mathelounge.de/712371/kreuzprodukt-vereinfachen-a-b-a-b

Comments

Natürlich ist es erlaubt zu raten, was der FS gemeint haben könnte. Gut wäre trotzdem die entsprechende Nachfrage. Der FS würde so veranlasst, über sein Problem nachzudenken.

Answer 2

1. Es ist $(a-b)\times (a+b)=$

$=a\times a-b\times a+a\times b-b\times b=a\times b+a\times b=2(a\times b)$

2. Es gilt

$(a\times b)^2+(a\cdot b)^2=|a|^2|b|^2\sin^2(\alpha)+|a|^2|b|^2\cos^2(\alpha)=|a|^2|b|^2$,

wobei $\alpha$ der Winkel zwischen $a$ und $b$ ist.

Answer 3

Aloha :)

Es sei $\alpha\coloneqq\angle(\vec a;\vec b)$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$:

$$(\vec a\times\vec b)^2+(\vec a\cdot\vec b)^2=(\|\vec a\times\vec b\|)^2+(\vec a\cdot\vec b)^2=(ab\sin\alpha)^2+(ab\cos\alpha)^2$$$$\phantom{(\vec a\times\vec b)^2+(\vec a\cdot\vec b)^2}=a^2b^2\sin^2\alpha+a^2b^2\cos^2\alpha=a^2b^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=a^2b^2$$

Das Vektorprodukt ist anti-kommutativ $(\pink{\vec a\times\vec b=-\vec b\times\vec a})$, daher gilt:$$(\vec a+\vec b)\times(\vec a-\vec b)=\underbrace{\vec a\times\vec a}_{=\vec 0}+\vec b\times\vec a\;\underbrace{\pink{-\vec a\times\vec b}}_{=\pink{+\vec b\times\vec a}}-\underbrace{\vec b\times\vec b}_{=\vec 0}=2\vec b\times\vec a$$