Aufgabe:
Zeige, dass∑k=1 nk+∑k=1 n−1(n−k)=n2 \text{ Zeige, dass}\sum \limits_{k=1}^{\ n}k + \sum \limits_{k=1}^{\ n-1}(n-k)=n^{2} Zeige, dassk=1∑ nk+k=1∑ n−1(n−k)=n2
Ansatz:
∑k=1 nk+∑k=1 n−1(n−k)=∑k=1 n−1k+n+∑k=1 n−1(n−k)=∑k=1 n−1(k+n−k)+n=∑k=1 n−1n+n=(n−1)n+n=n2 \sum \limits_{k=1}^{\ n}k + \sum \limits_{k=1}^{\ n-1}(n-k)=\sum \limits_{k=1}^{\ n-1}k+n+\sum \limits_{k=1}^{\ n-1}(n-k)=\sum \limits_{k=1}^{\ n-1}(k+n-k)+n= \sum \limits_{k=1}^{\ n-1}n+n \\ =(n-1)n+n=n^{2} k=1∑ nk+k=1∑ n−1(n−k)=k=1∑ n−1k+n+k=1∑ n−1(n−k)=k=1∑ n−1(k+n−k)+n=k=1∑ n−1n+n=(n−1)n+n=n2
Kann mir jemand erklären, wie man auf (n-1)n+n kommt ?
Danke
https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel
Was soll ich damit ? Inwiefern soll mir die Gaußsche Summenformel weiterhelfen ?
Das versteh ich auch nicht wirklich.
Es gilt jedenfalls
∑k=1n−1k+∑k=1n−1(n−k)=∑k=1n−1(k+n−k)=∑k=1n−1n=n(n−1) \sum_{k=1}^{n-1}k + \sum_{k=1}^{n-1}(n-k) = \sum_{k=1}^{n-1}(k+n-k) = \sum_{k=1}^{n-1}n = n(n-1) ∑k=1n−1k+∑k=1n−1(n−k)=∑k=1n−1(k+n−k)=∑k=1n−1n=n(n−1)
∑k=1nk+∑k=1n−1(n−k)=∑k=1nk+∑k=1n−1k=2(n−1)n2+n=(n−1)n+n=n2 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^{n-1} (n-k) = \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 \frac{(n-1)n}{2} + n = (n-1)n + n = n^2 k=1∑nk+k=1∑n−1(n−k)=k=1∑nk+k=1∑n−1k=22(n−1)n+n=(n−1)n+n=n2
Man kann die zweite Summe umordnen und einsetzen.
(∑k=1n−1n)+n=(n+n+…+n)+n=(n−1)n+n( \sum\limits_{k=1}^{n-1}n)+n=(n+n+ \ldots +n)+n=(n-1)n+n(k=1∑n−1n)+n=(n+n+…+n)+n=(n−1)n+n
In der Klammer stehen genau (n-1) mal n. Da in der Summe ein n steht und kein k, summierst du da halt n-1 mal n auf.
LG
Ach so. Danke
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