Beispiel für maximal aber nicht Ideal

Question

Aufgabe:

Es sei $\phi: R^{\prime} \rightarrow R$ ein Ringhomomorphismus und $\mathfrak{p} \subseteq R$ ein Primideal.

Geben Sie ein Beispiel, in dem $\mathfrak{p} \subseteq R$ maximal ist, das Ideal $\phi^{-1}(\mathfrak{p}) \subseteq R^{\prime}$ jedoch nicht.

Beispiel:

Ringhomomorphismus $\phi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}$.

ist das Beispiel richtig?

Answer 1

Wenn du mit $\phi$ die Inklusion meinst, hast du Recht:

$(0)$ ist maximales Ideal in $\mathbb{Q}$,

aber nicht maximales Ideal in $\mathbb{Z}$.